Topología débil * en Lp

Question

Para $p > 1,$ es la topología débil * en $L_p (X)$ con algún espacio medible $X$ ¿coinciden con la topología de la norma original?

Si no lo es, ¿es metrizable?

Si es así, ¿significa eso que para el espacio de medida general $X,$ $L_p (X)$ tiene una dimensión contable?

Answer 1

Para cualquier espacio de dimensión infinita $E$ el débil $\ast$ topología en $E^{\ast}$ no es metrizable como demuestra el siguiente argumento: Si fuera inducido por una métrica $d$ , entonces considera los conjuntos abiertos $$ B_d(0,1/n) $$ Dado que se trata de un barrio abierto de $0$ debe contener un conjunto de la forma $$ U_n := \{\varphi \in E^{\ast} : |\varphi(x_i)| < \epsilon \quad\forall 1\leq i\leq n\} $$ para algún conjunto finito $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\} \subset E$ y $\epsilon > 0$ . Ahora bien, desde $E$ es de dimensión infinita, $\exists \psi_n \in E^{\ast}$ no nulo tal que $$ \psi_n(x_i) = 0 \quad\forall 1\leq i\leq n $$ En particular, $$ \varphi_n := n\frac{\psi_n}{\|\psi_n\|} \in B_d(0,1/n) $$ Por lo tanto, $\varphi_n \to 0$ en el débil- $\ast$ topología, pero $\|\varphi_n\| = n \to \infty$ lo que contradice el principio de delimitación uniforme.

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Además, un espacio de Banach de dimensión infinita no puede tener una base de Hamel contable (esto es un argumento directo utilizando el teorema de la categoría Baire)