Teorema de la derivada parcial recíproca

Question

¿Es el recíproco de una derivada parcial siempre igual a 1 dividido por esa derivada parcial? Es decir, ¿es cierto que

$$\frac{1}{\frac{\partial x_1}{\partial x_2}} = \frac{\partial x_2}{\partial x_1}$$

Answer 1

No siempre. Por ejemplo, si $x \equiv x(r,\theta)=r\cos \theta$ y $y \equiv y(r,\theta)= r\sin \theta$ ( coordenadas polares ), entonces $r \equiv r(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}$ Así que $$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta = \frac{x}{r}$$ y también $$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{r} = \frac{\partial x}{\partial r}.$$