Producto infinito de $\prod_{n=0}^{\infty }(1+\frac{1}{4^{n}})$

Question

¿Existe una fórmula cerrada para el producto infinito de $$\prod_{n=0}^{\infty }\left(1+\frac{1}{4^{n}}\right)\:?$$

Answer 1

En cuanto a la $q$ -Símbolo del martillo neumático $(a,\,q)_n$ , si $|r|<1$ entonces $$\prod_{n\ge0}(1-r^n)=(r;\,r)_\infty.$$ Desde $1+\tfrac{1}{4^n}=\tfrac{1-\tfrac{1}{16^n}}{1-\tfrac{1}{4^n}}$ Su producto es $\frac{(\tfrac{1}{16};\,\tfrac{1}{16})_\infty}{(\tfrac14;\,\tfrac14)_\infty}$ .

Como señala @Startwearpurple, podemos escribir en su lugar $$\prod_{n\ge0}(1-r^n)=r^{-1/24}\eta(\tfrac{-i\ln r}{2\pi})$$ en términos de Función eta de Dedekind , por lo que su producto es $2^{1/12}\frac{\eta\left(\tfrac{2i\ln2}{\pi}\right)}{\eta\left(\tfrac{i\ln2}{\pi}\right)}$ .