¿Por qué el espacio de columnas de una forma escalonada tiene una dimensión no mayor que el rango de la matriz?

Question

Esta pregunta es de Matemáticas para economistas, de Simon y Blume, página 775, Prueba del teorema 27.5.

Sólo hago mi pregunta. Sé que debería dar detalles completos, incluyendo las definiciones y los teoremas ya demostrados, pero me lleva tanto tiempo que lo omito y me limito a dar el enlace del libro electrónico. Espero que este libro electrónico cubra los capítulos pertinentes. libro electrónico aquí.

Por la definición de la forma escalonada, el último $n-k$ entradas en cada columna de un rango $k$ escalón de la fila $n\times m$ matriz $A_r$ son todos ceros. Se deduce que el espacio de columnas de $A_r$ ,llámalo $Col(A_r)$ no puede tener una dimensión estrictamente mayor que $k$ .

Ahora, no puedo entender cómo se deduce que la dimensión no puede ser estrictamente mayor que $k$ .

(Tenga en cuenta que los espacios de fila se definen en este libro antes que los espacios de columna y los espacios nulos se definen después de los espacios de columna. Teorema que comete $dimension(Col(A))=dimension(Row(A))=rank\text{ }A$ se basa en el teorema 27.5 y en algunos teoremas anteriores).

Answer 1

Recordemos algunas configuraciones que conducen a la forma de escalón de fila.

La forma escalonada de una fila $n \times m$ tiene unos a la cabeza en cada fila que no es completamente ceros, y estos unos a la cabeza están en diferentes columnas (con las filas ordenadas por la aparición de los unos a la cabeza según la columna).

Si la matriz tiene rango $k$ entonces tendrá $k$ principales. Esto se debe a que las operaciones elementales de filas que dan lugar a su forma escalonada no cambian el espacio de filas de la matriz (aunque se cambien las filas individuales).

Consideremos ahora las columnas de la forma escalonada de la matriz. Si la parte inferior $n-k$ las filas son todas ceros, entonces en cada columna de la matriz escalonada las entradas no nulas aparecen sólo en la parte superior $k$ lugares. Así, el espacio de columnas de la matriz está contenido en el subespacio de $\mathbb{R}^n$ , aquí considerado como $n \times 1 $ vectores columna, en los que el último $n-k$ las entradas son ceros. Este último espacio tiene una base de "vectores estándar" en la que $e_i$ para $i=1,\ldots,k$ tiene $1$ en el $i$ y ceros en el resto.

Por lo tanto, la dimensión del espacio de columnas de la forma escalonada es como máximo $k$ (ya que está contenido en un espacio vectorial de dimensión $k$ ). De hecho, con un poco más de trabajo, se puede utilizar el hecho de que las columnas que tienen primarias son linealmente independientes (porque esas primarias están en filas distintas) para demostrar que la dimensión del espacio de columnas de la forma escalonada es exactamente $k$ .