¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre $\mathbb{Q}×[0,1]$

Question

Si $\mathbb{Q}×[0,1]$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ con la topología habitual entonces:

A. $\mathbb{Q}\times [0,1]$ es denso en $\mathbb{R}^2$

B. Conectado

C. Separable

D. Compacto

Lo que he pensado es que

(a) Es sólo una franja, no puede ser densa.

(b) $\mathbb{Q}$ está desconectado, por lo tanto también lo está.

(c) No es ni densa ni contable, por lo tanto no es separable.

(d) En $\mathbb{R}^2$ por Heine-Borel no está acotada y por tanto no es compacta.

No sé cuál de mis argumentos es erróneo. Por favor, ayúdenme.

Gracias y saludos.

Answer 1

Así que básicamente la respuesta correcta es que es separable, Lo que significa que tiene un subconjunto denso contable que es

Q×Racional en [0,1] .