Ejemplos simples de $X$ y $Y$ no correlacionados pero no independientes

Question

Cualquier estudiante trabajador es un contraejemplo de "todos los estudiantes son perezosos".

¿Cuáles son algunos contraejemplos simples de "si las variables aleatorias $X$ y $Y$ no están correlacionadas, entonces son independientes"?

Answer 1

Sea $X\sim U(-1,1)$.

Sea $Y=X^2$.

Las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Alternativamente, considere una distribución bivariada discreta que consiste en probabilidad en 3 puntos (-1,1),(0,-1),(1,1) con probabilidad 1/4, 1/2, 1/4 respectivamente. Entonces las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Considere los datos bivariados uniformes en un diamante (un cuadrado girado 45 grados). Las variables no estarán correlacionadas pero dependerán.

Esos son los casos más simples que se me ocurran.

Answer 2

Podemos definir una variable aleatoria discreta $X\in{-1,0,1}$ con $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

y, a continuación, defina $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Se puede verificar fácilmente que $X$ y $Y$ no están correlacionados pero no son independientes.

Answer 3

Pruebe esto (código R):

Esto es de la ecuación del círculo $x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ no se correlaciona con $x$, pero es funcionalmente dependiente (determinista).