Derivado del determinante de una matriz

Question

Buenos días a todos, Me gustaría saber cómo calcular:

$ \frac {d}{dt} \det \big (A_1(t), A_2(t), \ldots , A_n (t) \big )$

Ayúdame, por favor. Gracias.

Answer 1

Creo que puedo proporcionar una prueba para la fórmula de Matias.

Por lo tanto, dejemos que

$$ A(t) = \mathrm{det}\left( A_1(t), \dots , A_n(t) \right) \ . $$

Por definición,

$$ \frac{dA(t)}{dt} = \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} \frac{A(t+h) - A(t)}{h} = \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} \frac{\det (A_1(t+h), \dots, A_n(t+h)) - \det(A_1(t), \dots , A_n(t))}{h} $$

Ahora, restamos y sumamos

$$ \det(A_1(t), A_2(t+h), \dots , A_n(t+h)) $$

obteniendo:

$$ \frac{dA(t)}{dt} = \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} \frac{\det (A_1(t+h), A_2(t+h),\dots, A_n(t+h)) - \det(A_1(t), A_2(t+h), \dots , A_n(t+h))}{h} + \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0}\frac{ \det(A_1(t), A_2(t+h), \dots , A_n(t+h))-\det(A_1(t), \dots , A_n(t))}{h} $$

Ahora nos centramos en el primer sumando, que es

$$ \det \left( \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} \frac{A_1(t+h) - A_1(t)}{h}, \mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} A_2(t+h), \dots,\mathrm{lim}_{h\rightarrow 0} A_n(t+h) \right) $$

Eso es,

$$ \det (A_1'(t), A_2(t), \dots , A_n(t)) \ . $$

Ahora, vamos a por el segundo sumando al que restamos y añadimos

$$ \det(A_1(t), A_2(t), A_3(t+h), \dots , A_n(t+h)) \ . $$

De la que obtendremos el término

$$ \det (A_1(t), A'_2(t), A_3(t), \dots , A_n(t)) \ . $$

Sigue haciendo operaciones análogas hasta que consigas

$$ \det (A_1(t), A_2(t), \dots , A_{n-1}(t), A_n'(t)) \ . $$

Answer 2

La fórmula es $$d(\det(m))=\det(m)Tr(m^{-1}dm)$$ donde $dm$ es la matriz con $dm_{ij}$ en los entresijos. La derivación se basa en la regla de Cramer, que $m^{-1}=\frac{Adj(m)}{\det(m)}$ . Es útil en la geometría diferencial antigua que implica haces principales.

He visto que Terence Tao ha publicado una bonita entrada en su blog sobre it . Así que probablemente no sea necesario explicar más aquí.

Answer 3

Como regla de producto:

$$\dfrac{d}{dt}\det(A_1(t),A_2(t),...,A_n(t))=\det(A_1^{'}(t),A_2(t),A_n(t))+\det(A_1(t),A_2^{'}(t),...,A_n(t))+...+\det(A_1(t),A_2(t),...,A_n^{'}(t)) $$

Answer 4

En las respuestas anteriores no se dijo explícitamente que también existe la fórmula de Jacobi para calcular la derivada del determinante de una matriz.

Puedes encontrarlo aquí bien explicado: FÓRMULA DE JACOBI .

Y básicamente establece que:

Donde adj(A) es la matriz adjunta de A. Aquí se explica cómo calcular la matriz adjunta: MATRIZ ADJUNTA .

Espero que ayude a alguien.