Sé que el número de homomorfismo de grupo entre $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$ es $\gcd(n, m)$ . Con alguna otra información relevante como Aut $(\mathbb{Z}_n)$ es isomorfo a $U(n)$ (es decir, el grupo de unidades de $\mathbb{Z}_n$ ), intentaba averiguar cuál debería ser entonces el número de homomorfismo entre Aut $(\mathbb{Z}_n)$ y Aut $(\mathbb{Z}_m)$ lo que nos lleva a preguntarnos: ¿qué es realmente $|Hom(U(n), U(m))|$ .
Así que empecé así. Si $n, m$ son de primera potencia como $p^{k_n}$ y $p^{k_m}$ respectivamente, entonces utilizando el hecho $U(p^a)\simeq \mathbb{Z}_{p^a - p^{a-1}}$ vemos que $$|Hom(U(n), U(m))|= |Hom(\mathbb{Z}_{p^{k_n} - p^{{k_n}-1}}, \mathbb{Z}_{p^{k_m} - p^{{k_m}-1}})|=\gcd(p^{k_n} - p^{{k_n}-1}, p^{k_m} - p^{{k_m}-1})$$
Ahora usando el hecho de que si $m, n$ son relativamente primos entonces $U(mn)\simeq U(m)\oplus U(n)$ vemos que $$U(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r})\simeq U(p_1^{k_1})\oplus U(p_2^{k_2})\oplus \cdots \oplus U(p_r^{k_r})\\\simeq \mathbb{Z}_{p_1^{k_1} - p_1^{{k_1}-1}}\oplus \mathbb{Z}_{p_2^{k_2} - p_2^{{k_2}-1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p_r^{k_2} - p_2^{{k_r}-1}} $$
En otras palabras, si necesitamos conocer la cardinalidad del conjunto Hom $(U(n), U(m))$ necesitamos conocer la cardinalidad del conjunto Hom $(\mathbb{Z}_{n_1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{n_r}, \mathbb{Z}_{m_1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_s})$ . Me he quedado atascado aquí. No tengo ni idea de qué hacer. Por favor, ayúdenme en este sentido. Gracias de antemano.
