Descomposición diádica para la integral oscilatoria

Question

En las notas de Terence Tao sobre integrales oscilantes, Tao menciona que si $a(x)$ es una fase suave y con soporte compacto, con $a(x) = 1$ en una vecindad del origen, entonces para cualquier $N$ ,

$$ \int a(x) e^{\lambda i x^2}\; dx = e^{i\pi/4} \sqrt{\pi/\lambda} + O_{N,a}(\lambda^{-N}) $$

Menciona que este límite se puede demostrar mediante "una descomposición diádica". He tratado de idear una estrategia de descomposición diádica que produzca este límite, pero parece que algo se me escapa. ¿Qué estrategia de descomposición diádica podría producir este límite? A continuación está el enfoque que me sugiere mi intuición, que podría guiar tu respuesta, pero si hay un enfoque obvio que se me escapa, no es necesario leer el enfoque que sigue:

Si definimos $\beta_0(x)$ sea una función suave igual a $1$ en $[-1,1]$ y desapareciendo fuera de $[-2,2]$ y luego definir $\beta_n(x) = \beta_0(x/2^n) - \beta_0(x/2^{n-1})$ , entonces para cada $x \in \mathbf{R}$ , $\sum_{n = 0}^\infty \beta_n(x) = 1$ . Así, $\{ \beta_n \}$ es una partición de la unidad, con $\beta_n$ apoyado en $|x| \sim 2^n$ para cada $n$ . Quiero aislar el comportamiento de la integral cuando $|x| \lesssim \lambda^{-1/2}$ donde la fase es estacionaria, por lo que podría querer descomponer la integral como

$$ \int a(x) e^{\lambda i x^2} = \sum_{n = 0}^\infty \int a(x) \beta_n(x \cdot \lambda^{1/2}) e^{\lambda i x^2}. $$

Sin embargo, para $n \geq 1$ No he podido obtener un mejor límite que el de

$$ \left| \sum_{n = 1}^\infty \int \beta_n(x \cdot \lambda^{1/2}) e^{\lambda i x^2} \right| \lesssim \lambda^{-1/2}. $$

Incluso si fuera capaz de obtener una liga $O(\lambda^{-N})$ para este término, no parece claro cómo podríamos reintroducir la amplitud $a$ para obtener un límite en

$$ \left| \sum_{n = 1}^\infty \int a(x) \beta_n(x \cdot \lambda^{1/2}) e^{\lambda i x^2} \right|. $$

Sin duda, podemos resumir a $n \lesssim \log(\lambda^{1/2})$ , donde $\beta_n(x \cdot \lambda^{1/2}) a(x) = \beta_n(x \cdot \lambda^{1/2})$ pero para $n \gtrsim \log(\lambda^{1/2})$ obtenemos problemas porque $a$ modifica el comportamiento de $\beta_n$ .

Answer 1

Creo que se refiere a estas notas notas8.tao (p. 6). Como se indica en las notas, tenemos $\int_{\mathbb{R}}e^{i\lambda x^2}\text{d}x=e^{\pi i/4}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}$ . Ahora queremos demostrar que para una función de protuberancia $a$ con $a(x)=1$ para $x$ cerca de $0$ tenemos que $$\int e^{i\lambda x^2}a(x)\text{d}x-e^{\pi i/4}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}=\mathcal{O}_{N,a}(\lambda^{-N})$$ Por ejemplo, podemos suponer que $a(x)=1$ para $|x|\leq 1$ y $a(x)=0$ para $|x|\geq 2$ (de lo contrario, simplemente escalamos y ajustamos la siguiente prueba en consecuencia). A continuación, establecemos $\widetilde{a}(x)=a(x/2)-a(x)$ y $\beta_n(x)=\widetilde{a}(x/2^n)$ . Tenga en cuenta que $\widetilde{a}$ es una función de bache que desaparece cerca de $0$ . También se puede comprobar que $\text{supp}(\beta_n)\subset \left[2^n,2^{n+2}\right]$ y $a(x)+\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n(x)=1$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $$\int e^{i\lambda x^2}\text{d}x-\int e^{i\lambda x^2}a(x)\text{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int e^{i\lambda x^2}\beta_n(x)\text{d}x$$ Desde $\widetilde{a}$ se desvanece cerca de $0$ tenemos que (esto también se indica en las notas) $$\int e^{i\lambda x^2}\widetilde{a}(x/R)\text{d}x=\mathcal{O}_{N,a}(\lambda^{-N}R^{-N})$$ . Por lo tanto, $$\left|\sum_{n=0}^{\infty}\int e^{i\lambda x^2}\beta_n(x)\text{d}x\right|=\left|\sum_{n=0}^{\infty}\int e^{i\lambda x^2}\widetilde{a}(x/2^n)\text{d}x\right|\lesssim \lambda^{-N}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{N}}\right)^n\lesssim \lambda^{-N}$$ que termina la prueba.