Función generadora de momentos de la suma de $N$ variables aleatorias con distribución exponencial

Question

Consideramos variables aleatorias i.i.d. $(X_i)_{i\geq 1}$ con $X_i\sim \text{Exp}(\lambda),$ y otra variable independiente $N \sim \text{Poisson}(\mu)$ . Dejemos que $Y = \sum_{i=1}^N X_i$ . Determinar la función generadora de momentos $\phi_Y(t) = E(e^{tY})$ .

Mi pregunta Sé que puedo calcular la función generadora de momentos calculando $\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f_Y(x)dx.$ Sin embargo, el $N\sim \text{Poisson}(\mu),$ así que no puedo decir que $f_Y \sim \text{Gamma}(n, \lambda)$ (Pensé que era la distribución de la suma de $N=n$ variables exponenciales i.i.d.)? ¿Alguna idea sobre cómo debo proceder?

Answer 1

$Ee^{tY}=\sum_{n=0}^{\infty }Ee^{t\sum_{i=1}^{n} X_i} P\{N=n\}=\sum_{n=0}^{\infty }(Ee^{tX_1})^{n} P\{N=n\}$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?