Tengo un pequeño problema con el siguiente ejercicio:
Dejemos que $V \subset\mathbb{R}^p$ sea un conjunto cerrado no vacío y $a \in \mathbb{R}^p$ . Para $x, y \in \mathbb{R}^p$ observamos $d(x,y) = \|x-y\|$ . Además, dejemos que $d(a,V) = \inf \{\, d(a,x) \mid x \in V \,\}$ . Demuestre que existe $b \in V$ tal que $d(a,V) = d(a,b)$ . Sugerencia: considere el conjunto $V \cap \overline{B(a; R)}$ para una elección adecuada de $R > 0$ .
Ahora sé que $a \in V \Leftrightarrow d(a,V) = 0$ Así que si $a \in V$ podemos simplemente elegir $b = a$ . Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo demostrar esta afirmación para $a \notin V$ Y no sé realmente cómo utilizar la pista que se dio. Ya miré preguntas similares, pero todas incluyen teoremas sobre espacios compactos, y en este ejercicio $V$ no es necesariamente compacto (o eso creo). Cualquier sugerencia sería muy apreciada.
