Aspecto Formal derivado en álgebra

Question

Cuando el estudio de los polinomios, sé que es útil introducir el concepto de una formales derivados. Por ejemplo, más de un campo, un polinomio no tiene raíces repetidas iff y su derivada son coprime. Mi pregunta es, en caso de que se sorprenda al ver la formal derivado de aquí?

¿Hay alguna manera de que podamos hacer sentido de la aparición de la derivada (que para mí es un objeto analítico) en el álgebra? Sospecho que podría tener algo que ver con el hecho de que la derivada es lineal y satisface la regla del producto, lo que la convierte en un objeto útil a tener en cuenta. También sería interesante escuchar una explicación que explica esto en el contexto de la geometría algebraica.

Gracias!

Answer 1

En lugar de ser una profunda sorpresa, la formal derivado es un poco más cerca de ser una trivialidad que es fácil pasar por alto!

Por ejemplo, la serie de MacLaurin para un polinomio:

$$ f(x) = \sum_{i=0}^\infty f_i\: x^i $$

es simplemente escribir $f(x)$ en la forma habitual como la suma de sus términos. También está claro que cada polinomio tiene un número finito de series de Taylor alrededor del punto:

$$ f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_i \: (x-a)^i$$

y podemos considerar todos los puntos a la vez por dejar que $a$ ser una variable. A continuación, los coeficientes son ahora funciones de $a$:

$$ f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_i(a) \: (x-a)^i$$

de hecho, es fácil de trabajar que son polinomios en $un$. Volviendo al ejemplo inicial, ahora es claro que esos $$ tal que $f(x)$ tiene una doble raíz en $un$ son precisamente las raíces de $\gcd(c_0(x), c_1(x))$.

Por supuesto, sabemos que $c_0(a) = f(a)$ y $c_1(a) = f'(a)$ y así sucesivamente; los derivados de $f$ eficazmente definido por esta ecuación. De hecho, un común algebraicas definición formal de la derivada, es que es el único polinomio tal que

$$ f(x + \epsilon) = f(x) + \epsilon f'(x) \pmod{\epsilon^2} $$

si consideramos, $\epsilon$ una variable. El anillo $F[\epsilon] / \epsilon^2$, por cierto, se llama el anillo de dos números.

Esto debería ser un montón de cosas como la notación asintótica para el primer fin de comportamiento de $f$ en $0$....

A posteriori sabemos que este punto de vista resulta ser muy fructífero, (no sólo en el análisis, sino incluso puramente algebraica), y empujó aún más extremos-por ejemplo, de poder formal de la serie de anillos. Y se generaliza a otros anillos de $F[x]$ donde nos cuenta cosas modulo poderes de un ideal, que a su vez conduce a cosas como el $p$-ádico números.

Pero sin este conocimiento, uno puede mirar todo lo que he dicho más arriba, y pensar que todo lo que he hecho es tomar una cosa simple de hacer las cosas complicadas.

Uno podría incluso ser tan audaz para argumentar que la derivada es en realidad más de un algebraicas idea de que ha sido fruto generalizado para el estudio de los objetos de análisis en lugar de la otra manera alrededor.

Answer 2

Hubo un resumen álgebra de etiqueta, así que esta idea de Conor McBride podría ser de interés para usted.

Para decirlo en breve, usted puede encontrar un significado formal, derivado en parte diferenciada de las matemáticas.

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Introducción.

Deje que $A$, $B$, $C$, etc. ser algunos tipos, y luego $A\times B$ ser el tipo de producto y de $a + B$ ser el subproducto. Por otra parte, vamos $B^A$ ser el tipo de funciones a partir de $A$ a $B$. (Para ganar algo de intuición, usted puede pensar de $A$, $B$, etc., como subconjuntos de algunos universo $U$, $A\times B$ sería entonces el producto Cartesiano y $A + B$ sería distinto de la unión.)

Observar, que $|a+B| = |A| + |B|$, $|A\times B| = |A|\cdot|B|$ y $|B^A| = |B|^{|A|}$. Denotamos como

• $\mathbf{0}$, la desinhibida tipo (algo así como un conjunto vacío),
• $\mathbf{1}$, un tipo con un solo elemento (algo así como un singleton),
• $\mathbf{2}$, un tipo con dos elementos,
• etc.

Entonces, $|A\times A| = |^\mathbf{2}|$, y por supuesto hay un isomorfismo entre pares de tipo $A$ y funciones $\mathbf{2} \$ (de hecho la aplicación del primer elemento de $\mathbf{2}$ sería $\pi_1$ de proyección). Muchas más de las identidades de trabajo, por ejemplo, distributiva de la ley

$$(A+B)\times C \equiv\veces C + B \times C,$$

y la conocida ley de la exponenciación se convierte en el Alarmada operación

$$(A^B)^C \equiv A^{B\times C}.$$

Estructuras de datos.

Las estructuras de datos son las funciones de los tipos. Un ejemplo de no-trivial de la estructura de datos es la lista. Se puede definir de forma recursiva como

$$L[X] = \mathbf{1} + X \times L[X], \etiqueta{1}$$

esto es, la lista es una lista vacía o contiene la cabeza (que es del tipo de parámetro) y la cola (que es, de nuevo, una lista). La solución de $(1)$ para $L[X]$ obtenemos que

$L[X] \equiv \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}-X} = \mathbf{1} + X + X^2 + X^3 + \ldots$.

En otras palabras, la lista es isomorfo a un tipo que es un singleton o un 1-tupla, o 2-tupla, etc. Por favor, tenga en cuenta, que mi descripción es más bien informal, sin embargo, se tardaría años para introducir definiciones adecuadas.

Formal de la derivada.

Ahora, la sorpresa: la derivación formal es similar a la eliminación de un elemento que forma la estructura de los datos en cuestión (que es representada por una función).

Por ejemplo, $(a^3)' \equiv 3\times A^2$, es decir, si eliminamos uno de $Una$ de 3-tupla tenemos una 2-tupla y un indicador, donde el elemento fue tomada de (había tres lugares posibles).

$$L'[Un] \equiv \left(\frac{1}{1}\right)' \equiv \left(\frac{1}{1}\right)^2 \equiv L[A]\times L[A],$$

en otras palabras, una lista sin un elemento se convierte en dos listas, que es el de los elementos antes de la toma, y el resto, después de la toma. La costumbre también las leyes de trabajo, por ejemplo,

$$\left(F[G[X]]\right)' \equiv F'[G[X]]\times G'[X],$$ es decir, si queremos quitar de $X$ de una estructura anidada $F[G[X]]$, el primer lugar necesitamos quitar unos $G[X]$ de $F$, y luego de esto $G[X]$ quite $X$.

Finalmente, la expansión de Taylor, también se trabaja, sin embargo, voy a dejar fuera de la interpretación como para que no se eche a perder toda la diversión ;-)

$$F[X+Y] \equiv F[X] + F'[X]\times Y + F"[X]\times \frac{Y^2}{2} + F"'[X]\times\frac{Y^3}{3!} + \ldots$$

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Espero que me hizo curioso ;-)

Answer 3

Formal de la derivada de un polinomio anillo es sólo un ejemplo de un concepto más general llamado derivación. Más explícitamente, si $R, S$ son anillos con la $S$ un $R$ álgebra, y $d : R \rightarrow$ S es un mapa que satisface:

1) $d(a + b) = d(a) + d(b)$

2) $d(ab) = d(b) a + b d(a)$

Entonces $d$ se llama derivación. Que formal de la derivada de un polinomio anillo es sólo un ejemplo de una derivación, pero hay muchas derivaciones que surgen por todo el lugar en el álgebra y la geometría.

En el contexto general de álgebra, hay una gran llamada teoría diferencial de la teoría de galois, que los estudios diferencial de campo extensions (extensiones de campos que tienen una derivación, tales como $\mathbb{C}(x)$, por ejemplo).

En geometría diferencial, una suave colector tiene una derivación en el conjunto de sus verdaderos valores de las funciones lisas $C^\infty(M)$, que es básicamente la costumbre de derivados. El objetivo de esta derivación no es el conjunto de funciones, pero el conjunto de diferencial de 1-formas $\Lambda^1(M)$.

Estos son sólo un par de ejemplo, pero derivaciones son importantes debido a sus propiedades algebraicas, y debido a que los cálculos se muestran en forma natural en muchas ramas de las matemáticas. No puedo hablar de la Geometría Algebraica, pero creo derivaciones jugar un papel importante en la teoría así.

Answer 4

Otro lugar de donde viene, es en la teoría de lenguajes formales. Creo que fue Janusz dawes de aspect security que notó por primera vez que las expresiones regulares (en particular) tienen una utilidad derivada.

Si usted sabe algo acerca de las expresiones regulares, entonces, la siguiente tendrá sentido, de lo contrario no. Sin embargo, aquí está: Una expresión regular es un idempotente semi-anillo con una operación adicional llamado la estrella de Kleene.

Intuitivamente, una expresión regular que representa un conjunto de palabras a través de algunos alfabeto. $0$ es el conjunto vacío, $1$ es un singleton que contiene el cero-la longitud de la palabra, la multiplicación es la palabra de concatenación, y además es el conjunto de la unión. La estrella de Kleene representa un cierto tipo de iteración. De forma intuitiva:

$$A^* = 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots$$

Es posible definir en términos de igualdad simple axiomas, pero no vamos a hacerlo aquí.

Así que tenemos un idempotente semiring (idempotente porque $a + a = A$), además de la estrella de Kleene. La estrella de Kleene desempeña el papel de $e^x$ (si esto parece extraño, pensar en el poder de la serie de $e^x$, más el hecho de que la adición es idempotente). Las letras en el subyacente alfabeto se comportan como variables. En particular, podemos definir la evaluación en cero:

$$a(0) = 0$$ $$(AB)(0) = A(0) B(0)$$ $$(A+B)(0) = A(0) + B(0)$$ $$A^*(0) = 1$$

Dada una expresión regular $E$, $E(0)$ es $0$ o $1$. Es $1$ si la cadena vacía es un miembro de la $E$ y $0$ lo contrario.

También podemos definir un derivado:

$$\frac{\partial}{\partial} = 1$$ $$\frac{\partial b}{\partial} = 0$$ $$\frac{\partial (a+B)}{\partial} = \frac{\partial}{\parcial} + \frac{\partial B}{\partial}$$ $$\frac{\partial AB}{\partial} = A(0) \frac{\partial B}{\parcial} + \frac{\partial}{\partial} B$$ $$\frac{\partial^*}{\partial} = \frac{\partial}{\partial} A^*$$

El único impar regla aquí es el de la multiplicación. Es casi como el familiar producto de la regla; la diferencia se debe al hecho de que la concatenación no es conmutativa.

Lo que la derivada intuitivamente significa que $\frac{\partial E}{\partial}$ es el conjunto de cadenas en $E$ que comienzan con el símbolo $$, pero con que $$ quitado. Por lo que $\frac{\partial E}{\partial}$ es el conjunto de cadenas en $E$, que comienza con $un$.

Pensando en ello por un momento, si ${un\ldots z}$ es el alfabeto, entonces:

$$E = E(0) + \frac{\partial E}{\parcial} + b \frac{\partial E}{\partial b} + \cdots + z \frac{\partial E}{\partial z}$$

Este es del teorema de Taylor, sólo para regular los idiomas. Por otra parte, es también una regla para la creación de DFAs directamente de las expresiones regulares! $E(0)$ es $1$ si y sólo si el estado inicial es un estado final, y los otros términos son las transiciones.

Una cosa notable acerca de esto es que la conocida expresión regular a los operadores (más algunos menos conocidos como el de la intersección y diferencia de conjuntos) son completamente determinado por sus derivados, además de su evaluación en cero. Esto es lo que esperamos de el teorema fundamental del cálculo, pero es interesante ver aquí también.

Por cierto, esta teoría escalas de contexto libre y recursiva idiomas, pero se necesita un poco más de la maquinaria de la que no voy a entrar aquí.

Answer 5

Estás en lo correcto que las derivaciones son importantes porque son lineales y obedecer la regla del producto. En álgebra no conmutativa y física de uno, tiene una interesante anillos tales como $A_n={\mathbb R}\left[x_1,\cdots ,x_n ;{\parcial \over \partial x_1},\cdots,{\parcial \over \partial x_n }\right]$ form una interesante clase de simple no conmutativa anillos y en el caso $n=1$ es el bien estudiado Weyl diferencial álgebra $\cong F\left<x,y\right>\left/<yx xy=1>\right.$ donde $F$ es un campo y $F\left<x,y\right>$ la libre álgebra en noncommutating indeterminants con $x$ de operación en $F[x]$ por multiplicación y y de operación en $F[x]$ por la diferenciación.

La mejor manera de obtener una respuesta a su pregunta es para ir a la Wikipedia y buscar la derivación (álgebra abstracta). Se mencionan algunos de álgebra conmutativa.