En un artículo de Bob Oliver "Simple fusion systems over p-groups with abelian subgroup of index p" en Notation 2.2., define un conjunto $Z_2 = Z_2(S)$ donde $S$ es un no-abeliano $p$ -grupo. El problema es que no sé qué $Z_2(S)$ significa. Yo sé $Z(S)$ es el centro, pero nunca he visto $Z_2(S)$ . ¿Puede alguien ayudarme?
Respuesta
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Como señala I.M. Soloveichik en los comentarios, $Z_2(G)$ presumiblemente se refiere a la segundo centro del grupo $G$ es decir, el segundo término del serie central superior .
Se trata de un subgrupo de $G$ y tiene varias definiciones equivalentes:
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Es la imagen inversa de $Z\bigl(G/Z(G)\bigr)$ bajo el homomorfismo cociente $G \to G/Z(G)$ .
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Es el conjunto $\{g\in G \mid [g,h]\in Z(G)\text{ for all }h\in G\}$ .
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Es el conjunto $\{g\in G \mid [[g,h],k]=1\text{ for all }h,k\in G\}$ .
Tenga en cuenta que $Z_2(G)$ es un subgrupo normal (y de hecho característico) de $G$ y que $Z_2(G)$ siempre contiene $Z(G)$ . Además, $Z_2(G)$ es igual a $G$ si y sólo si $G$ es nilpotente de clase 2 es decir, si y sólo si $G$ es un extensión central de un grupo abeliano.
