Continuidad, continuidad uniforme y preservación de sucesiones de Cauchy en espacios métricos.

Question

Sean $ X $ e $ Y $ espacios métricos, y sea $ f: X \to Y $ una función. Determine cuál(es) de las siguientes afirmaciones es/son verdadera(s).

a. Si $ f $ es uniformemente continua, entonces la imagen de cada sucesión de Cauchy en $ X $ es una sucesión de Cauchy en $ Y $;

b. Si $ X $ es completo y si $ f $ es continua, entonces la imagen de cada sucesión de Cauchy en $ X $ es una sucesión de Cauchy en $ Y $;

c. Si $ Y $ es completo y si $ f $ es continua, entonces la imagen de cada sucesión de Cauchy en $ X $ es una sucesión de Cauchy en $ Y $.

Answer 1

Permíteme darte algunas pistas que te permitirán completar una solución por ti mismo.

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(a) Si $ f: (X,d_{X}) \to (Y,d_{Y}) $ es una función uniformemente continua, entonces por definición, para cada $ \epsilon > 0 $, existe un $ \delta > 0 $ tal que $$ (*) \quad \forall x,y \in X: \quad {d_{X}}(x,y) < \delta ~ \Longrightarrow ~ {d_{Y}}(f(x),f(y)) < \epsilon. $$ Sea $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ una sucesión de Cauchy en $ (X,d_{X}) $. Fija un $ \epsilon > 0 $, y encuentra un $ \delta > 0 $ tal que se cumpla $ (*) $. Existe un $ N \in \mathbb{N} $ suficientemente grande tal que para todo $ m,n \in \mathbb{N}_{\geq N} $, tenemos $ {d_{X}}(x_{m},x_{n}) < \delta $. ¿Qué puedes decir ahora sobre $ {d_{Y}}(f(x_{m}),f(x_{n})) $ para todo $ m,n \in \mathbb{N}_{\geq N} $?

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(b) Si $ (X,d_{X}) $ es un espacio métrico completo, entonces por definición, toda sucesión de Cauchy $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ en $ (X,d_{X}) $ tiene un límite. Dado que $ f: (X,d_{X}) \to (Y,d_{Y}) $ es una función continua, ¿qué puedes decir sobre la sucesión $ (f(x_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ en $ (Y,d_{Y}) $? ¿Converge? ¿Implica que la convergencia de una sucesión en un espacio métrico arbitrario es una sucesión de Cauchy?

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(c) Sea $ f: \left\{ \dfrac{1}{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \to \{ \pm 1 \} $ definida por $$ \forall n \in \mathbb{N}: \quad f \left( \frac{1}{n} \right) \stackrel{\text{def}}{=} (-1)^{n}. $$ Equipemos los conjuntos $ \left\{ \dfrac{1}{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} $ y $ \{ \pm 1 \} $ con la métrica heredada de $ \mathbb{R} $. Entonces

• $ \left\{ \dfrac{1}{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} $ se convierte en un espacio métrico discreto no completo,

• $ \{ \pm 1 \} $ se convierte en un espacio métrico discreto completo (para probar su completitud, piensa en cuáles son las sucesiones de Cauchy en $ \{ \pm 1 \} $) y

• $ f $ se convierte en una función continua (cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es automáticamente continua).

Nota: Los espacios métricos discretos no son necesariamente completos, pero siempre son completamente metrizables.

Observa que $ \left( \dfrac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} $ es una sucesión de Cauchy en $ \left\{ \dfrac{1}{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} $. Su imagen bajo $ f $ es $ ((-1)^{n})_{n \in \mathbb{N}} $. ¿Es esta una sucesión de Cauchy en $ \{ \pm 1 \} $?

Answer 2

(a) es verdad. Simplemente aplica la definición de continuidad uniforme de una función