Si un primo $p$ satisface la condición dada, entonces $p^{4} \mid ap-b$

Question

Pregunta Si $p > 3$ es un primo y $$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p} = \frac{a}{b}$$ entonces demuestre que $p^{4} \mid (ap-b)$ .

Hay un ejercicio en Herstein que dice, si $p > 3$ es primo y si $$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{a}{b}$$ entonces $p^{2} \mid a$ . (Página 116, Problema 2). Pero no estoy seguro de si esto ayuda o no. Las pistas y sugerencias serían de gran ayuda.

Answer 1

$\frac{a}{b} = \frac{p^{2}\alpha}{\beta} + \frac{1}{p}$ donde $(\alpha,\beta) = (p,\beta) = 1$

Creo que se deduce inmediatamente de esto.

Así que el ejercicio ayuda.

Relacionado: http://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_theorem

Además, una pista para el ejercicio: considere $f(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)$ . Hace $p^2$ dividir $f'(0)$ (derivada de f en 0)? (Esta es una prueba clásica de ese ejercicio y debería estar disponible en los libros de texto)

Answer 2

HINT $\rm\;\;\displaystyle p^4\:\big|\:ap-b = \:bp\bigg(\frac{a}{b} - \frac{1}{p}\bigg)\;\;$ a través de $\rm\;\; p^2|bp\;\;$ y $\rm\displaystyle\; p^2\:\big|\:\bigg(\frac{a}{b} - \frac{1}{p}\bigg)\;\;$ a través de Wolstenholme

Answer 3

A partir del Teorema de Wolstenholme podemos suponer que, $1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{p-1}=p^2\frac{x}{y}$ . Entonces $\frac{a}{b}=\frac{p^2x}{y}+\frac{1}{p}$ . Esto nos da, $\frac{ap-b}{b}=\frac{p^3x}{y}$ . O, $y(ap-b)=bp^3x$ . Obviamente, $p\not|y,p|b$ . Dejemos que $b=pk$ . Tenemos $y(ap-b)=kp^4x$ . Esta ecuación da $p^4|y(ap-b)$ Y como $\gcd(p,y)=1,p^4|ap-b$ .