Integración parcial para funciones suaves con soporte compacto

Question

Dejemos que

• $d\in\mathbb N$
• $\lambda$ sea la medida de Lebesgue en $\mathbb R^d$
• $\Omega\subseteq\mathbb R^d$ estar abierto

Por qué podemos utilizar la integración parcial para obtener $$\int_\Omega\phi\Delta\psi\;{\rm d}\lambda=-\int_\Omega\nabla\phi\cdot\nabla\psi\;{\rm d}\lambda\tag 1$$ para todos $\phi,\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ ?

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La integración parcial multidimensional es un caso especial del teorema de la divergencia. Pero el teorema de la divergencia en la versión que conozco sólo puede aplicarse sobre subconjuntos compactos $K$ de $\mathbb R^d$ con límite suave $\partial K$ . Un límite suave significa que para todo $p\in\partial K$ existe un conjunto abierto $U\subseteq\mathbb R^d$ con $p\in U$ tal que existe una variable continuamente diferenciable $F:U\to\mathbb R$ con

1. $K\cap U=\left\{x\in U:F(x)\le 0\right\}$ y
2. $F'(x)\ne 0$ para todos $x\in U$

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Vamos a lo que tenemos en la situación de $\phi,\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ . Supongamos que podemos encontrar un compacto $K$ con un límite suave tal que $K\subseteq\Omega$ y $\operatorname{supp}\Delta\psi\subset K$ . Entonces es fácil concluir que $$\int_\Omega\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\Delta\psi\;{\rm d}\lambda=\int_K\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\Delta\psi\;{\rm d}\lambda=\int_{\partial K}\phi\frac{\partial\psi}{\partial\nu}\;{\rm d}o=0$$ por el teorema de la divergencia, ya que $\phi$ se desvanece en $\partial K$ .

Entonces, ¿podemos encontrar siempre tal $K$ ? Si no es así, ¿cómo podemos demostrar $(1)$ ¿en su lugar?

Answer 1

No es necesario encontrar ese conjunto $K \subset \Omega$ ¡!

Al principio, supongamos que $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ está acotado. Entonces hay una bola abierta $B_R(0) \subset \mathbb{R}^d$ tal que $\Omega \subset B_{R/2}(0)$ . Para cada función $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ definimos una extensión $\tilde{\varphi} \colon B_R(0) \to \mathbb{R}$ por \begin{align} \tilde{\varphi}(x) &:= \varphi(x) &\text{ for } x \in \Omega, \\ \tilde{\varphi}(x) &:= 0 &\text{ otherwise.} \end{align} Entonces $\tilde{\varphi} \in C_{c}^{\infty}(B_R(0))$ .

Dejemos que $\varphi, \psi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ . Como en el caso anterior, construimos extensiones $\tilde{\varphi}, \tilde{\psi} \in C_c^{\infty}(B_R(0))$ . Como la pelota $B_R(0)$ tiene una frontera suave, se nos permite integrar por partes. Así obtenemos que \begin{equation} \int_{\Omega} \varphi \Delta \psi = \int_{B_R(0)} \tilde{\varphi} \Delta \tilde{\psi} = - \int_{B_R(0)} \nabla \tilde{\varphi} \cdot \nabla \tilde{\psi} = - \int_{\Omega} \nabla \varphi \cdot \nabla \psi. \end{equation} Esto demuestra la afirmación para dominios acotados $\Omega$ .

Si $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ no está acotado, entonces no hay ninguna bola $B_R(0) \subset \mathbb{R}^d$ tal que $\Omega \subset B_{R/2}(0)$ . Sin embargo, ¡nuestra construcción de arriba funciona! Esto se debe a que para $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ el apoyo de $\varphi$ es un conjunto compacto; en particular, $\text{supp} \, \varphi \subset \mathbb{R}^d$ está acotado. Así que encontramos una bola $B_R(0) \subset \mathbb{R}^d$ tal que $\text{supp} \, \varphi \subset B_{R/2}(0)$ . Ahora, puedes definir la misma extensión $\tilde{\varphi} \colon B_R(0) \to \mathbb{R}$ como en el caso anterior. Esto demuestra la afirmación para dominios no limitados $\Omega$ .