La base Slinky no cae inmediatamente por efecto de la gravedad

Question

¿Por qué la base de este slinky no cae inmediatamente a la gravedad? Mi suposición es que la tensión de los muelles es una fuerza > masa*gravedad, pero aun así es desconcertante.

Answer 1

¡Qué pregunta tan increíble! Por cierto, que yo sepa, el vídeo original es aquí para los interesados.

Una clave para entender esto es el siguiente hecho de la mecánica clásica que es una versión de la segunda ley de Newton para sistemas de partículas:

La fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas es igual a la masa total $M$ del sistema por la aceleración de su centro de masa $$ \mathbf F_{\mathrm{ext},\mathrm{net}} = M\mathbf a_\mathrm{cm} $$ En el caso del slinky, que podemos modelar como un sistema de muchas partículas, la fuerza externa neta sobre el sistema es simplemente el peso del slinky. Éste viene dado por su masa multiplicada por $\mathbf g$ la aceleración debida a la gravedad, por lo que a partir del enunciado anterior, obtenemos $$ M\mathbf g = M\mathbf a_\mathrm{cm} $$ por lo que se deduce que $$ \mathbf a_\mathrm{cm} = \mathbf g $$ En otras palabras, hemos demostrado que

El centro de masa del slinky debe moverse como si fuera una partícula que cae bajo la influencia de la gravedad.

Sin embargo, nada exige que las partículas individuales del sistema deban moverse como si cada una de ellas cayera libremente bajo la influencia de la gravedad. Esto es así porque hay interacciones entre las partículas que afectan a su movimiento además de la fuerza debida a la gravedad. En particular, existe tensión en el slinky, como señalas.

Tienes toda la razón en que la parte inferior del slinky no se mueve porque la tensión del resto del slinky que tira hacia arriba equilibra la fuerza debida a la gravedad que tira hacia abajo hasta el momento en que el slinky se comprime totalmente y todo el conjunto cae con la aceleración debida a la gravedad. En cualquier caso, el centro de masa se mueve como si estuviera cayendo libremente todo el tiempo.

Por cierto, hay algunos buenos comentarios sobre este experimento desde el punto de vista de la propagación de ondas en el blog del usuario de physics.SE @Mark Eichenlaub que se puede encontrar aquí .

Answer 2

Este problema ha sido considerado anteriormente en la literatura, el primer caso parece ser [1] en el que se encuentra una solución exacta para el movimiento de un resorte ideal en esta configuración. También se discuten algunas diferencias sutiles entre un slinky y el resorte que se considera a continuación, que no cambiarán cualitativamente nuestras conclusiones. Es notable la ausencia de cualquier discusión sobre colisiones; se supone que los elementos del muelle pasan libremente unos a través de otros. Esta suposición es irrelevante para el intervalo de tiempo que nos ocupa.

Lo primero que hay que señalar aquí es que la mayor parte de nuestra intuición sobre los sistemas con muelles procede del caso idealizado de un muelle sin masa que sujeta una masa en su extremo, de modo que la tensión es constante en todo el muelle; en ese caso, el resultado es un movimiento armónico simple. En este caso, la condición inicial es bastante diferente: la masa que está extendiendo el muelle es la masa del propio muelle, que está distribuida a lo largo de toda la longitud del muelle. Esto es visible en la imagen, ya que hay espacios más amplios entre las espiras en la parte superior. Por tanto, no cabe esperar un movimiento armónico simple del muelle.

En cambio, el movimiento del muelle se describe mediante la ecuación diferencial

$$m \frac{\partial^2 }{\partial t^2} y(t,\xi)= k \frac{\partial^2}{\partial \xi^2}y(t,\xi) + mg.$$

Aquí $\xi$ oscila entre $0$ a $1$ y $y(t,\xi)$ es la posición vertical del punto del muelle en el momento $t$ que (inicialmente) tiene masa $\xi m$ por encima de ese punto y $(1-\xi)m$ debajo de ella. En particular $y(t,1)$ es la posición de la parte inferior del muelle en el momento $t$ .

Aparte del $mg$ término esto es sólo la ecuación de onda. El $mg$ en realidad no complica mucho las cosas aquí; podemos eliminarlo por el principio de equivalencia pasando a un marco acelerado. Una propiedad importante de la ecuación de onda es que las ondas se propagan a una velocidad finita $v =\sqrt{k/m}$ . Esto es necesario para, por ejemplo, preservar la causalidad en electrodinámica.

Hasta que las ondas se propagan desde el lugar de la perturbación $\xi =0$ a la parte inferior, la parte inferior no tiene acceso a la información que se ha comunicado a la parte superior. Por tanto, sigue moviéndose exactamente igual que cuando la parte superior del muelle estaba sujeta, es decir, permanece (¡exactamente!) inmóvil. Una vez que la onda golpea $\xi=1$ en $t=1/v=\sqrt{m/k}$ el fondo comienza a moverse. Los hechos clave aquí son que la tensión en el muelle es local (esto es lo que nos permite escribir la ecuación anterior), que el muelle en $t<0$ se ha dispuesto de tal manera que equilibra todas las fuerzas para permanecer inmóvil, y que la perturbación originada en $\xi=0$ se propaga sólo con velocidad finita.

Referencias:

[1] M. G. Calkin, " Movimiento de un muelle que cae Am. J. Phys. 61(3), 261-264 (1993).

Answer 3

Buena pregunta.

Todo se basa en la segunda ley de Newton. Echa un vistazo a esta parte del slinky

Sobre la pieza de arriba actúan tres fuerzas. La tensión de la parte superior del slinky, la tensión de la parte inferior del slinky y $mg$ . Todos ellos están equilibrados.

Pero si hablas de esta parte del slinky:

Las fuerzas son Tensión, $mg$ y esa fuerza de la mano. Tenga en cuenta que $mg$ y la tensión están en la misma dirección, es decir, hacia abajo, y también están equilibrados, obviamente.

Cuando sueltas el slinky, la fuerza neta sobre el elemento superior se convierte en $tension+mg$ y apunta hacia abajo, pero en el resto de todas las partes del slinky, las fuerzas siguen equilibradas.

Lo que se ve es que la parte superior se precipita hacia abajo, mientras que las demás permanecen en su posición.

Answer 4

Bastante interesante, parece desafiar la lógica. Pero esto es lo que está pasando. Normalmente, un slinky horizontal sostenido estirado en dos manos y liberado, ambos extremos se moverían hacia el centro. Pero sostenido verticalmente, y donde la gravedad es la otra mano invisible que estira el slinky hacia abajo, cuando se sostiene desde arriba, la parte inferior se detiene en un punto de equilibrio donde el resorte no puede estirarse más debido a la gravedad, y debido a la gravedad el resorte no tira de la parte inferior hacia arriba más allá de esta longitud equilibrada.

Ahora, cuando sueltes el extremo superior, recuerda que normalmente ambos extremos de un muelle se moverán el uno hacia el otro, a menos que uno de los extremos siga sujeto, en este caso por la gravedad. El extremo superior baja más rápido de lo que cabría esperar de una caída libre, porque el efecto de la gravedad y el efecto del muelle que quiere comprimirse actúan al mismo tiempo. La parte inferior quiere subir, pero no puede porque tendría que vencer a la gravedad, y a cada instante de la caída el muelle se estira menos, y por tanto la fuerza del muelle disminuye.

Así, aunque la parte inferior se hace más ligera, la parte estirada del muelle se acorta, y exactamente al mismo tiempo que se hace más fácil subir para encontrarse con la parte superior, la fuerza del muelle disminuye, sin llegar nunca a levantar la parte inferior. La parte inferior nunca cae mientras esté estirada, porque si está estirada cuelga en lugar de caer. Se trata de equilibrar las fuerzas, el muelle que tira hacia arriba, la gravedad que tira hacia abajo, un peso cada vez más ligero que cambia constantemente (la parte todavía estirada) y una fuerza del muelle cada vez menos fuerte que cambia constantemente (el grado de extensión entre las espiras).

Y estas dos fuerzas, siempre cambiantes pero equilibradas, se compensan entre sí para que la parte "colgante" del slinky parezca ingrávida. Pero más ingrávido o a una altitud constante, como un avión, se consideraría ingrávido; fuerzas equilibradas sería una explicación mejor que ingrávido. Una hoja de papel puede flotar en el aire con una presión de aire perfecta que compense el peso del papel.

Answer 5

La fuerza sobre el centroide NO es = mg. Es m(g - T) donde T es la tensión del muelle en la posición del centroide. Creo que un tratamiento más riguroso encontrará que la bobina superior experimenta F = ma = mg ya que T tiene una componente puramente hacia abajo.

La forma de resolverlo es hacer un experimento comparando la caída de un slinky y la de un cuerpo rígido en caída libre y ver si es el centroide el que acelera a g o la bobina superior como predigo.