¿Es cada $T_4$ ¿El espacio topológico es divisible?

Question

Un espacio topológico $(X,\mathcal T)$ se dice que es divisible si para cada vecindad $U$ de la diagonal $\Delta=\{(x,x)\mid x\in X\}$ en $X\times X$ existe una vecindad simétrica $V$ de la diagonal tal que: $$V\circ V\subseteq U$$

¿Es cada $T_4$ ¿El espacio topológico es divisible?

Answer 1

Lamentablemente no, pero (de la manera que yo sé) demostrarlo no es del todo sencillo

Definición: A T $_1$ -espacio $X$ se llama colección normal si para cada familia discreta $\{ F_i : i \in I \}$ de subconjuntos cerrados de $X$ existe una familia disjunta por pares $\{ W_i : i \in I \}$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que $F_i \subseteq W_i$ para todos $i \in I$ .

Teorema (H.J. Cohen, 1952): Todo espacio divisible (completamente regular) es normal desde el punto de vista de la colección.

prueba. Dejemos que $\{ F_i : i \in I \}$ sea una familia discreta de subconjuntos cerrados de $X$ . Para cada $i \in I$ dejar $U_i = X \setminus \bigcup_{j \neq i} F_j$ y que $U = \bigcup_{i \in I} ( U_i \times U_i )$ . Claramente $U$ es una vecindad abierta de la diagonal $\triangle \subseteq X \times X$ por lo que por divisibilidad existe una vecindad simétrica $V$ de $\triangle$ tal que $V \circ V \subseteq U$ . Para cada $i \in I$ definir $$W_i = \bigcup_{y \in F_i} \{ x \in X : \langle x , y \rangle \in V \}.$$ Se puede demostrar que la familia $\{ W_i : i \in I \}$ es como se requiere. $\hspace{0.5cm}$$ \Box$

(Quizás por esta razón los espacios divisibles se llaman a veces fuertemente normal a nivel de colección .)

Y hay espacios normales que no son normales de colección, por ejemplo Bing's $G$ .

[El teorema de Cohen es de su artículo Sobre un problema del Sr. Dieudonné C. R. Acad. Paris 234, (1952). 290-292.]