En la construcción estándar de los números naturales en la teoría axiomática de conjuntos (ZFC), el cero se define como el conjunto vacío.
Sin embargo, si consideramos, por ejemplo, la función $f:\mathbb N\rightarrow \mathbb N$ definido por $f(n)=n+1$ tenemos $f(0)=1$ pero $f(\emptyset)=\emptyset$ porque la imagen del conjunto vacío es siempre vacía.
¿Es esto contradictorio? ¿Qué me falta aquí?
Estás confundiendo la función $f$ con la función de imagen directa que $f$ induce.
Recordemos que si $X$ y $Y$ son conjuntos, y $f\colon X\to Y$ es una función, entonces $f$ induce una función, a menudo denotada también por $f$ pero que llamaré $\underline{f}$ , $$\underline{f}\colon\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(Y),$$ dado por $$\underline{f}(A) = \{f(a)\mid a\in A\}$$ para todos $A\subseteq X$ .
La función $f$ definido por $f(n)=n+1$ mapeará el elemento $\emptyset$ al elemento $\{\emptyset\}=1$ . La función $\underline{f}$ mapeará el subconjunto $\emptyset$ al subconjunto $\emptyset$ .
(Obsérvese que éste no es el único problema de la notación: según la definición habitual de $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}$ es un conjunto transitivo : si $a\in \mathbb{N}$ entonces $a\subseteq \mathbb{N}$ . Así, $1 = 0\cup\{0\} = \{\emptyset\}$ y $\emptyset\subseteq\mathbb{N}$ . Así que mientras $f(1)=2=\{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ también tenemos $\underline{f}(1) = \underline{f}(\{\emptyset\}) = \{f(\emptyset)\} = \{f(0)\} = \{1\}\neq 2$ . Por lo tanto, es importante mantener la distinción entre $f$ y $\underline{f}$ claro, si no es obvio por el contexto).
Te equivocas. Si por "la imagen del conjunto vacío" se entiende $\{f(x) : x\in\varnothing\}$ , entonces sí que debe estar vacío. Pero cuando el conjunto vacío se toma como un miembro del dominio, entonces es sólo un miembro del dominio, y se trata en consecuencia.
En la teoría de conjuntos, pero no tanto en otras áreas de las matemáticas, se suele tener un conjunto $A$ que es a la vez un miembro y un subconjunto del dominio. Tomando $A$ para ser miembro del dominio, $f(A)$ es un miembro de la imagen. Pero entonces se utiliza la notación $f[A]$ para referirse a $\{f(x) : x\in A\}$ . Son dos cosas diferentes. Entonces uno diría $f[\varnothing]=\varnothing$ . Pero $f(\varnothing)$ puede ser otra cosa depende de qué función $f$ es.
La práctica de definir $0$ esa manera es simplemente una convención. Se utiliza con el fin de codificar la aritmética dentro de la teoría de conjuntos.
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