¿Cómo se calcula este límite? $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\sin x)}}{x}$ ?

Question

¿Cómo se calcula este límite? $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\sin x)}}{x}?$$ sin derivados, por favor. Gracias.

Answer 1

Escribe el límite como $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x}.$$ Es bien sabido que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$ y como $\sin x \to 0$ como $x \to 0$ , obtenemos que también $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = 1.$$ Por lo tanto, el límite es $1 \cdot 1 = 1$ .

Answer 2

Editar: La solución que se presenta a continuación no debe seguir las directrices de los OPs que no se utilizan los derivados. Sin embargo, la dejaré ya que es correcta y muestra cómo la regla de L'Hôpital facilita mucho el problema. Si usted cree que esta respuesta debe ser eliminada, por favor hágame saber por qué y lo consideraré.

Como este límite es de $\frac{0}{0}$ podemos aplicar La regla de L'Hôpital , lo que da como resultado $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}\sin (\sin x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sin x) \cos x}{1} = 1.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que :

• $$\sin(\sin{x}) = \sin{x} - \frac{(\sin{x})^{3}}{3!} + \frac{(\sin{x})^{5}}{5!} + \cdots $$

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} =1$ .

Answer 4

Aquí está una página con una prueba geométrica de que $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1 $$ Puedes saltarte los Corolarios.

Entonces puedes usar el hecho de que $\lim_{x\to 0}\sin(x)=0$ y el hecho mencionado por J.J. y Zarrax de que $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(x))}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(x))}{\sin(x)}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 $$