El límite como parámetro de la tasa de $\Gamma$ la distribución se destina a $0$

Question

Considere un $\Gamma(\alpha,\beta)$ distribución. Supondremos que la versión de la tasa de forma que es tiene la densidad $$ \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $$ normalmente se supone que $\alpha, \beta >0$ . ¿Es posible obtener algo no degenerado como $\beta \to 0$ ? (por ejemplo, eligiendo $\alpha(\beta)$ de forma inteligente).

Answer 1

La respuesta es no. De hecho, podemos demostrar que $$ \lim_{\beta\to0}\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}=0 $$ para cualquier función $\alpha(\beta)>0$ . Utilizando el cálculo y la fórmula de Stirling, se puede demostrar que $$ \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}<\frac{C}{\log(1/\beta)} $$ para alguna constante absoluta $C>0$ .

Desde $\lim_{\beta\to 0^+}\frac{C}{\log(1/\beta)}=0$ se deduce, por el teorema de squeeze, que $$ \lim_{\beta\to0}\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}=0. $$