¿Cómo asignar valores sobre estas dos variables A y B en una "red bayesiana" apócrifa como A->B->A?

Question

Digamos que tenemos un grafo A->B->C, y su representación de independencia codificada es como sigue:

| a0   | a1      |      
|:-----|--------:|   
| 0.6  | 0.4     |  

| A    | P(b0|A) | P(b1|A) |  
|:-----|--------:|--------:|
| a0   | 0.30    | 0.70    |
| a1   | 0.20    | 0.80    |

| B    | P(c0|B) | P(c1|B) |  
|:-----|--------:|--------:|
| b0   | 0.20    | 0.80    |
| b1   | 0.90    | 0.10    |

Este gráfico es válido ya que cada probabilidad es no negativa y la suma de la distribución del gráfico es 1: $P(A, B, C)=P(A)P(B|A)P(C|B)=0.6*0.3*0.2+0.6*0.3*0.8+\cdots + 0.4*0.8*0.9+0.4*0.7*0.1=1$

¿Pero qué pasa si cambio la C por la A? Las dos primeras tablas de probabilidad no cambian:

| a0   | a1      |      
|:-----|--------:|   
| 0.6  | 0.4     |  

| A    | P(b0|A) | P(b1|A) |  
|:-----|--------:|--------:|
| a0   | 0.30    | 0.70    |
| a1   | 0.20    | 0.80    |

Pero, ¿cómo dibujar el tercero?

| B    | P(a0|B) | P(a1|B) |  
|:-----|--------:|--------:|
| b0   | 0.60    | 0.40    |
| b1   | 0.60    | 0.40    | 

Me pregunto si se trata de un bucle infinito y las tablas de probabilidad no son posibles para tales gráficos. Se agradece cualquier sugerencia. Gracias.

Answer 1

Cuando se construye una red de la forma $A\rightarrow B\rightarrow C$ ya que cada nodo depende sólo de su padres por definición la probabilidad conjunta se escribe como $P(A,B,C)=P(A)P(B|A)P(C|B)$ . Cuando establecemos $C=A$ es decir, forman una relación cíclica, esta fórmula se convierte en $$P(A,B,A)=P(A,B)=P(A)P(B|A)P(A|B)$$ Aquí, $P(A)P(B|A)=P(A,B)$ entonces para satisfacer la ecuación debe ser $P(B|A)=1$ asumiendo probabilidades no nulas. Pensando a la inversa, tendremos $P(A|B)=1$ . Si ambos son $1$ entonces $P(A,B)=P(A)$ , lo que significa que $B=A$ o $A$ y $B$ son deterministas, es decir, con probabilidad $1$ Por ejemplo El mundo da vueltas .