Para un poset con un conjunto base P, ¿no es cada conjunto que contiene un solo elemento de $X$ una cadena de $P$ ?

Question

Por ejemplo, consideremos este conjunto parcialmente ordenado de mi libro de texto únicamente a través de su diagrama de Hasse:

Mi libro de texto dice que una de las cadenas del poset $P$ arriba es ${1}$ . Esto tiene sentido. Utilizando explícitamente las definiciones de órdenes parciales y sus cadenas, esta es la lógica:

Los posets son transitivos, por lo tanto $1$ está relacionado consigo mismo a través de la relación de orden parcial, por lo tanto $1$ es comparable a sí mismo, por lo que cada par de elementos distintos en $\{1\}$ son comparables entre sí, por lo que $\{1\}$ es una cadena de $P$

Pero aparentemente $\{3\}$ no es una cadena, sino que es una anticadena de $P$ . ¿Por qué es esto? Podría seguir la misma lógica que para $\{1\}$ para concluir que $\{3\}$ también debería ser una cadena...

Answer 1

Todos los subconjuntos de un poset son vacuamente tanto cadenas como anticadenas.

Answer 2

Para un poset con conjunto de tierra $P$ ¿no es cada conjunto el que contiene un solo elemento de $X$ una cadena de $P$ ?

Sí. Su razonamiento es correcto.

$1$ es comparable a sí mismo, por lo que cada par de elementos distintos en $\{1\}$ son comparables entre sí

Un pequeño detalle: $1$ no es distinto de sí mismo. Así que no es necesario decir que $1$ es comparable a sí mismo para decir que todo par de elementos distintos es comparable. De hecho, no hay pares de elementos distintos en $\{1\}$ y, por tanto, "vacuamente", cada par de elementos distintos es comparable.

Pero aparentemente $\{3\}$ no es una cadena, sino que es una anticadena de $P$ . ¿Por qué?

Es tanto una cadena como una anticadena. En general, un conjunto de elementos de un Poset puede ser una cadena, una anticadena, ninguna o ambas.