Resolución de una EDO mediante el método de iteración de Picard

Question

Encontrar la solución exacta del PIV

$y'=y^2$ , $y(0)=1$

A partir de $y_0(x)=1$ , aplique el método de Picard para calcular $y_1(x),y_2(x),y_3(x)$ y comparar estos resultados con la solución exacta.

Resolviendo este PIV con separación de variables, obtengo que $y(x)=\frac{1}{1-x}$ .

Ahora usando el método de Picard ( $y_n(x)=y_0+\int_0^xf[t,y_{n-1}(t)]dt$ ), obtengo

\begin{align} y_0(x) & =1 \\ y_1(x) & =1+x \\ y_2(x) & =1+x+x^2+\frac{x^3}{3} \\ y_3(x) & =1+x+x^2+x^3+\frac{2x^4}{3}+\frac{x^5}{3}+\frac{x^6}{9}+\frac{x^7}{63} \end{align}

A estas alturas, habría esperado ver algún patrón, pero realmente no veo nada, y seguir iterando no creo que me lleve a ninguna parte.

Answer 1

Tal vez esto le ayude a entender mejor lo que está sucediendo:

http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html

Los dos resultados son realmente equivalentes para $|x|<1$ ya que la iteración de Picard converge a una serie geométrica, que es $\frac{1}{1-x}$ para $|x|<1$ .