¿Cómo demostramos que dos funciones tienen acciones ortogonales sobre un conjunto o grupo?

Question

Si tomamos inicialmente $X=\{x\in \Bbb Z[\frac12]\setminus0\}$ entonces podemos ver rápidamente que a partir de cualquier número inicial, las acciones de las dos funciones sobre $X$ generará todo el conjunto:

$f(x)=x+2^{\nu_2(2x)}$ y

$g(x)=2x$

Dónde $2^{\nu_2(2x)}$ es el doble de la mayor potencia de $2$ que divide $x$ .

Aquí estoy usando el hecho de que ambas funciones tienen inversos únicos bien definidos y conmutan entre sí.

Entonces cuando digo que sus acciones generan todo el conjunto quiero decir que desde cualquier número de partida, el grupo abeliano libre sobre dos elementos, en el que cada elemento representa el número de composiciones de f o g, nos lleva a cada número del conjunto.

Para demostrarlo, veamos que $f$ enumera los numeradores de impar y $g$ elige el poder de $2$ denominador.

Por lo tanto, se podría concluir que las funciones son en cierto sentido ortogonales, o que forman una base para algo o que disfruten de alguna forma de independencia y potencia sobre el conjunto.

Al haber llegado a esto por mis propios medios, no sé qué lugar ocupa en las matemáticas ni cómo hablaría normalmente de ello un matemático.

A. ¿Qué lenguaje se utiliza normalmente para describir esto?

B. Cómo llamamos al grupo abeliano libre generado por las dos funciones, que es el conjunto de todas las transformaciones entre pares de elementos del conjunto $X$ ?

C. En términos más generales, ¿cómo abordaríamos el problema de demostrar que las acciones discretas de un par de funciones son ortogonales en el sentido en que lo son estas dos aquí, cuando podría no ser tan obvio?

Answer 1

Intento responder a A y C. ( La pregunta B. no me queda clara. Para la pregunta B, véase "Añadido" más abajo). En resumen, supongo que lo que percibes como "ortogonalidad" aquí es en realidad sólo una cierta descomposición en producto de un conjunto, y funciones que esencialmente operan sobre diferentes factores de ese producto. Así que para demostrar que esto ocurriría en otras situaciones, habría que demostrar exactamente eso: que el conjunto subyacente se descompone como un producto, y que las funciones operan "esencialmente" sobre diferentes factores de ese producto (lo que significa que en cada factor, al menos una de ellas opera como identidad).

Aquí, cada elemento del conjunto $X = \Bbb Z[\frac{1}{2}] \setminus\lbrace 0\rbrace$ puede escribirse de forma única como (una potencia de $2$ ) por (un entero impar), que podemos expresar diciendo que $X$ es el producto directo

$$X \simeq 2^\Bbb Z \times (2\Bbb Z +1) \qquad \qquad (*)$$

como conjuntos (es decir, producto cartesiano; en realidad, se trata incluso de un producto de monoides multiplicativos, pero eso no parece tener importancia para lo que sigue).

Ahora sobre el primer factor, que más precisamente deberíamos escribir como $\lbrace 2^n: n \in \Bbb Z\rbrace$ y llamémoslo $X_1$ definan la función biyectiva $g_0:X_1 \rightarrow X_1$ que envía $2^n$ a $2^{n+1}$ sobre el segundo factor, que más exactamente deberíamos escribir como $\lbrace 2n+1: n \in \Bbb Z\rbrace$ y llamémoslo $X_2$ definan la función biyectiva $f_0: X_2 \rightarrow X_2$ que envía $2n+1$ a $2(n+1)+1 = 2n+3$ .

Obsérvese que, obviamente, para dos elementos $2^m$ , $2^n$ de $X_1$ tenemos $g_0^{n-m}(2^m) = 2^n$ mientras que para dos elementos $2m+1$ , $2n+1$ de $X_2$ tenemos $f_0^{n-m}(2m+1) = 2n+1$ .

Ahora, con la descomposición del producto directo $(*)$ , su $f$ es $id_{X_1} \times f_0$ y su $g$ es $g_0 \times id_{X_2}$ . Es decir, las funciones que operan como las definidas anteriormente en uno de los factores respectivos, pero como identidad en el otro factor respectivo.

Esto explica naturalmente por qué $f$ y $g$ conmutan, y por qué para dos elementos $x = 2^{m_1} \cdot (2m_2+1)$ y $y = 2^{n_1} \cdot (2n_2+1)$ de $X$ tenemos $g^{n_1 -m_1} \circ f^{n_2-m_2}(x) = y$ .

---

Añadido: En cuanto a la pregunta B, después de algunas discusiones y aclaraciones en los comentarios: El grupo generado por las dos biyecciones $f$ y $g$ se llama, pues, el grupo generado por esas dos biyecciones (entendido: como subgrupo del grupo de todo biyecciones de $X$ ). Llamémoslo $H$ . Resulta ser (isomorfo a) "el" grupo abeliano libre sobre dos generadores (que, además, es isomorfo al grupo aditivo $\Bbb Z^2$ .) Lo que vale la pena señalar, y es fácil de demostrar a partir de lo anterior, es que el acción de $H$ en $X$ es simplemente transitivo lo que implica (por el teorema del estabilizador de la órbita) que para un $x \in X$ el mapa $H \rightarrow X$ dado por $h \mapsto h(x)$ es biyectiva. Una terminología utilizada a veces para esta situación es que $X$ es un torsor sobre $H$ . Después de escribir esto, veo que todo esto ya fue mencionado por Eric Wofsey aquí .