ABCD es un cuadrilátero cíclico cuyas dos diagonales son perpendiculares.

Question

ABCD es un cuadrilátero cíclico cuyas dos diagonales son perpendiculares. Si $R$ es el radio de la circunferencia, demostrar que:

$AB$$2$ + $BC$$2$ + $CD$$2$ + $DA$$2$ = $8R$$2$

Si el centro del círculo es O, probé a dibujar radios perpendiculares a cada uno de los lados. De este modo, obtenemos 3 pares de triángulos rectángulos congruentes.

Answer 1

Lema. Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico ortodiagonal centrado en $M$ entonces $$\angle AMB+\angle CMD=\angle BMC+\angle DMA=180^\circ$$

Aquí tienes una "prueba sin palabras"

Así, tenemos que $DA$ y $BC$ forman un triángulo rectángulo con un diámetro, y por lo tanto $DA^2+BC^2=4R^2$ . Del mismo modo, obtenemos $AB^2+CD^2=4R^2$ ...

Answer 2

Esta es mi solución.

Utilice esta construcción

para demostrar que $AB = 2R\cos(CAD)$ .

Por la ley de los senos tenemos $CD = 2R\sin(CAD)$ Así que $AB^2 + CD^2 = 4R^2$ .