Evaluación de la suma de $5^{-n}$ de $n=4$ hasta el infinito

Question

La respuesta es $\frac1{500}$ pero no entiendo por qué es así.

Se me da el hecho de que la suma de $x^{n}$ de $n=0$ al infinito es $\frac1{1-x}$ . Así que si ese es el caso entonces tengo que $x=\frac15$ y al introducir los valores tengo $\frac1{1-(\frac15)}= \frac54$ .

Answer 1

El problema que tienes es que no sabes por qué la fórmula funciona para empezar. Si lo supieras la situación estaría clara. La cuestión es la siguiente:

$$\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r} \; \;\;\;\;\; |r|<1.$$

Dejemos que $r=\frac{1}{5}$ Entonces, realmente tienes la siguiente situación:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^0+\left(\frac{1}{5}\right)^1+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5+....$$ Llamemos a esta suma infinita $S$ y proceda de la siguiente manera,

$$S=\left(\frac{1}{5}\right)^0+\left(\frac{1}{5}\right)^1+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5+....$$ entonces $$ \left(\frac{1}{5}\right)S=\left(\frac{1}{5}\right)^1+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5+\left(\frac{1}{5}\right)^6....\;\;\;\;$$

Resta la segunda de la primera,

$$S-\left(\frac{1}{5}\right)S=1$$ $$S(1-\left(\frac{1}{5}\right))=1$$ $$S=\frac{1}{1-\left(\frac{1}{5}\right)}$$ $$S=\frac{5}{4}.$$

Ahora recuerda lo que $S$ fue y se dio cuenta, $$S=\left(\frac{1}{5}\right)^0+\left(\frac{1}{5}\right)^1+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5+....=\frac{5}{4}$$ Pero, quieres que los poderes comiencen en $n=4$ así que resta las primeras 4 potencias (0,1,2,3) para obtener, $$S-\left(1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3\right)$$ lo que significa $$\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5+....=\frac{5}{4}-\left(1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3\right)=\frac{1}{500}.$$

Answer 2

La fórmula da de $n=0$ hasta el infinito, pero se le pide que sume desde $n=4$ hasta el infinito. En este caso, se toman los términos de $n=0$ hasta el infinito utilizando la fórmula (que ha determinado que es $\frac54$ ), y deshacerse de los términos adicionales. En este caso, no necesitamos los términos cuando $n=0,1,2,3$ , por lo que podemos deshacernos de esos términos restándolos. La suma es entonces $\frac54-5^{-0}-5^{-1}-5^{-2}-5^{-3}=\frac1{500}$ .

Answer 3

$$ \sum_{n=4}^\infty\frac{1}{5^n}=\frac{1}{5^4}\sum_{n=4}^\infty\frac{1}{5^{n-4}}=\frac{1}{5^4}\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{5^m}=\frac{1}{5^4}\frac{1}{1-1/5}=\frac{1}{500}. $$

Answer 4

$$S_n = (1/5)^4+...+(1/5)^n\ \ \ \ \ (i)$$

$$-(1/5)S_n = -(1/5)^5-...-(1/5)^n-(1/5)^{n+1}\ \ \ \ (ii)$$

$(i)+(ii)$ $$S_n(1-1/5) = (1/5)^4 - (1/5)^{n+1} \Rightarrow (4/5)S_n = 1/625 - (1/5)^{n+1}$$

$\Rightarrow S_n = 1/500 - (5/4)(1/5)^{n+1}$

pero

$(1/5)^n \rightarrow 0$