Surjetivo $p$ -La representación de los ádicos implica una representación trivial $p$ -Parte principal.

Question

Dejemos que $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica. Sabemos que por Serre en el caso no-CM, para $p\geq5$ ,

$$\rho_p:Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow Aut(T_p(E))$$

es proyectiva si

$$ \bar{\rho}_p:Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow Aut(E[p])$$

es suryente.

¿Cómo es que la subjetividad implica que $E(\mathbb{Q})(p)$ ¿es trivial?

Sé que los mapas son inyectivos, por lo que la subjetividad da entonces la biyectividad. Estoy tratando de entender cómo funcionan realmente los mapas. Cualquier pista sobre esto o enlaces a artículos en los que se explique esto será útil.

Answer 1

Si $E(\Bbb Q)(p)$ no es trivial, entonces $E(\Bbb Q)$ tiene un punto no trivial $P$ de orden $p$ . Porque $P$ es racional, es invariante bajo la acción de $\bar{\rho_p}$ .

Por otro lado, para cualquier punto no nulo $Q \in E[p]$ hay mapas en $Aut(E[p])$ que no arreglan $Q$ Así que $\bar{\rho_p}$ no puede ser sobreyectiva.