Prueba de la regla de divisibilidad de 17.

Question

Regla: Resta 5 veces el último dígito del resto del número, si el resultado es divisible por 17 entonces el número también es divisible por 17.

¿Cómo funciona esta regla? Por favor, da la demostración.

Answer 1

Escribe tu número $10a + b$.

Luego, como 10 y 17 son primos relativos, $$17\mid a-5b \iff 17\mid 10a-50b \iff 17\mid 10a+b$$ La última equivalencia es porque $10a+b-(10a-50b) = 51b$ siempre es múltiplo de 17.

Answer 2

Sea $$n=\sum_{k=0}^N 10^k a_k$$ el número que queremos probar para la divisibilidad, donde los $a_k$ son los dígitos en la expansión decimal de $n$. Formamos el segundo número $m$ por el proceso que describes, $$m = \sum_{k=1}^N 10^{k-1} a_k - 5 a_0 = \frac{n-a_0}{10}- 5 a_0 $$ Ahora supongamos que $17|m$. Entonces existe un número natural $b$ tal que $17b = m$. Entonces tenemos $$ 17 b = \frac{n-a_0}{10}- 5 a_0 $$ $$ 10 * 17 b = n-a_0- 50 a_0 \implies n= 17(10b + 3a_0) $$ y así $n$ es divisible por 17.

Answer 3

10x+y será divisible por un número primo impar p si y solo si a.p.x ~ b(10x+y) es divisible por p.

Ahora, mediante el algoritmo de MCD de Euclides, podemos encontrar enteros a, b tales que a.p ~ b.10=1 donde (p,10)=1.

Si p=17, por observación 3.17 - 5.10=1.

Entonces, 3.17.x-5(10x+y)=x-5y.

Si esto es divisible por 17, también lo será 10x+y.

Answer 4

$17 = 2^3 + 3^2$

la suma de los exponentes de $2$ y $3$ es $(3 + 2)$

es decir, la suma de los exponentes es $5$

Ahora un número puede ser expresado como $abcde$

es decir, $abcde = (10^4)a + (10^3)b + (10^2)c + (10^1)d + e$

remueve la cifra de las unidades de $abcde$ para obtener $$abcd = (10^3)a + (10^2)b + (10^1)c + d$$

Ahora, sea $A = abcd - (3 + 2)(e)$

Supongamos que $A$ es divisible por $17$

es decir, $A = abcd - (5)e = (17)k$

es decir, $abcde = (10)(abcd) + e$

es decir, $abcde = (10)((17)k + (5)e) + e$

es decir, $abcde = (170)k + (50)e + e$

es decir, $abcde = (17)(10)k + (51)e$

es decir, $abcde = (17)(10)k + (17)(3)e$

es decir, $abcde = (17)((10)k + (3)e)$

es decir, $abcde$ es efectivamente divisible por $17$

Answer 5

Escribe el número original como 10x+y para separar el último dígito (y) del número sin el último dígito (x). Reconoce que la divisibilidad por 17 significa que puedes escribir el número como 17n para un entero positivo n. Así que nuestra afirmación es si x-5y=17n entonces 10x + y = 17m, donde x, y, m, n son enteros positivos.

Supongamos x - 5y = 17n. Ahora intentamos que el lado izquierdo se vea como nuestro número original. Primero multiplicamos ambos lados por 10. (10x - 50y = 170n), y luego sumamos 51y a ambos lados. (10x+ y = 170n + 51y). Factorizamos 17 del lado derecho. (10x+y=17(10n+3y)). Reconoce que 10n+3y es un entero positivo ya que n y y son enteros, definámoslo como m, demostrando que 10x+y=17m lo que significa que el número original es divisible por 17 si x-5y era divisible por 17.