Ejemplo y explicación de teorías de lógica de primer orden

Question

Me dieron la siguiente definición de teorías:

Una teoría T es un conjunto de fórmulas cerradas tal que si T |= F entonces F es un elemento de T.

Estoy buscando algunos ejemplos de teorías para entender intuitivamente qué son las teorías. La aritmética lineal sobre los racionales se menciona en mi libro de texto pero realmente no entiendo por qué es un ejemplo de teoría.

Answer 1

Primero, creo que la siguiente explicación podría ser útil:

Quieres pensar en una teoría como primero y ante todo un conjunto de declaraciones. Así que una teoría es algo así como "$\{$Juan es un hombre, Juan posee un auto, $2+2=5\}$" (¡Nunca dije que tenían que ser declaraciones correctas!).

Pero hay dos advertencias aquí:

• No estamos interesados en declaraciones arbitrarias, sino en declaraciones de una forma particular: específicamente, una teoría es un conjunto de declaraciones que pueden ser expresadas por una oración de la lógica de primer orden ("oración" es un término más conciso que "fórmula cerrada").

• No estamos interesados en conjuntos arbitrarios de oraciones; estamos interesados en conjuntos que están cerrados bajo deducción. Entonces, por ejemplo, si "$\forall x(A(x)\implies B(x))$" y "$A(c)$" están en nuestra teoría (aquí $A, B$ son símbolos de predicado unarios y $c$ es un símbolo constante), entonces "$B(c)$" mejor estar en nuestra teoría. Así que nuestras teorías son "inteligentes" - saben (o más bien, contienen) todas las cosas que deben. No todos los autores exigen esto de las teorías, y de hecho pasé por alto este requisito la primera vez que leí tu pregunta.

Un comentario útil sobre el segundo punto es el siguiente: cualquier conjunto de oraciones de primer orden puede ser utilizado para generar una teoría - si $S$ es un conjunto de oraciones, permitimos que $\langle S\rangle$ (la teoría generada por $S$) sea el conjunto de oraciones demostrables a partir de las oraciones en $S$: $$\langle S\rangle=\{p: S\models p\}.$$ ¡No es inmediatamente obvio que $\langle S\rangle$ es de hecho una teoría! Sin embargo, lo es, y este es un buen ejercicio. Otro buen ejercicio es demostrar que para cualquier estructura $\mathcal{M}$, tenemos que $\mathcal{M}\models S$ si y solo si $\mathcal{M}\models \langle S\rangle$, por lo que realmente no hay diferencia (semántica) entre $S$ y $\langle S\rangle$.

¿Cuál es el punto de hablar sobre teorías generadas por conjuntos de declaraciones? ¡Bueno, hace que sean más fáciles de describir! En lugar de enumerar todas las infinitas oraciones en una teoría, puedo decirte solo las suficientes oraciones para generar toda la teoría, y usualmente esto es muy fácil de hacer. Veremos a continuación ejemplos de teorías que se presentan como las teorías generadas por algunos conjuntos de oraciones.

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Mi ejemplo favorito de una teoría es la teoría generada por el siguiente conjunto de oraciones: $$\{\}$$ Esta es una teoría muy tonta - las únicas cosas en ella son los axiomas de la lógica misma, como "$\forall x(x=x)$".

De acuerdo, ¿qué tal un ejemplo no tonto?

Un ejemplo natural es la teoría del orden lineal. Nuestro lenguaje aquí es $\{<\}$ (donde "$<$" es un símbolo de relación binaria), y las fórmulas cerradas que conforman nuestra teoría son generadas por el conjunto que contiene simplemente las siguientes tres fórmulas:

• Transitividad: $\forall x\forall y\forall z(x

• Asimetría: $\forall x\forall y(x

• Irreflexividad: $\forall x(\neg x

Estas son fórmulas cerradas; el conjunto de estas tres fórmulas es una teoría, y esta es la teoría del orden lineal. (A veces la teoría del orden lineal se desarrolla para $\le$ en lugar de $<$, en cuyo caso la asimetría e irreflexividad se reemplazan por "$\forall x\forall y(x

Otro buen ejemplo de una teoría es la teoría de grupos. Aquí nuestro lenguaje es $\{e, ^{-1}, *\}$ donde $e$ es un símbolo constante, $^{-1}$ es un símbolo de función unaria y $*$ es un símbolo de función binaria; y una colección de fórmulas cerradas que generan nuestra teoría consiste en lo siguiente:

• Identidad: $\forall x(e*x=x*e=x)$.

• Inversos: $\forall x(x^{-1}*x=x*x^{-1}=e)$.

• Asociatividad: \forall x\forall y\forall z((x*y)z=x(y*z))$.

Y finalmente, ¡podemos tener otra teoría tonta! Nuestro lenguaje $\{c, d\}$ tiene dos símbolos constantes, y nuestra teoría es generada por las siguientes dos oraciones:

• $\neg c=d$.

• $c=d$.

¡No hay ninguna regla que diga que una teoría tiene que ser coherente! Es un buen ejercicio mostrar que esta teoría es exactamente el conjunto de todas las oraciones - es decir, una contradicción te permite demostrar todo.