Continuidad en la topología del producto (Ejercicio)

Question

Dejemos que $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ tienen la topología del producto.

Es $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ $f(t)=(\sin(xt))_{x \in \mathbb{R}}$ ¿constantemente?

Eso parece:

$f$ continuo $\Leftrightarrow$ $\forall i \in I\ f_i f: Y$ $\rightarrow X_i$ es continua

Es el teorema a utilizar aquí.

(1) En este caso $Y=\mathbb{R}, I=\mathbb{R},X_i=\mathbb{R}$ y $f_i$ es la función $f_{x_0}(t)=\sin(x_0t)$ para un valor fijo $x_0 \in \mathbb{R}$

Los fundamentos del análisis nos dicen que $f_{x_0}(t)$ es continua para cada $x_0 \in \mathbb{R}$ . Así que $f$ es continua.

¿Es correcto mi cálculo? ¿Hay que añadir algo?

Answer 1

El criterio de la prueba de continuidad es efectivamente

$$f: Y \to \Bbb R^{\Bbb R} \text{ continuous } \iff \forall x \in \Bbb R: \pi_x \circ f \text{ continuous }$$ donde $\pi_x: \Bbb R^{\Bbb R}$ es la función de evaluación $g \to g(x)$ (para cualquier espacio $Y$ )

y de hecho tomando $Y=\Bbb R$ vemos que $\pi_x \circ f$ es sólo la función que envía $t \in \Bbb R$ a $\sin(xt)$ para algunos fijos $x$ y esto es efectivamente más que continuo, incluso diferenciable. Así que tenemos una continua $f$ aquí, que traza una especie de "camino" desde el $0$ a la función $\sin(x)$ con $t$ de $0$ a $1$ etc.

Así que su trabajo se comprueba, IMO.