He leído que para demostrarlo usando grupos, podemos ver que el orden del grupo de unidades es igual a la función totiente de Euler: $$|U(n)|= \phi (n)$$ Sin embargo, después de esto, el autor continúa diciendo que esto implica que $a^{\phi (n)}=1$ para todos $a \in U(n)$ . La única razón por la que puedo hacer esta conexión es que $U(n)$ puede ser cíclico, en el que $a$ a la potencia del orden del grupo es la identidad. Pero, ¿y si $U(n)$ no es cíclico? ¿Cómo podemos llegar entonces a esta conclusión lógica?
Respuestas
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Esto es una consecuencia del teorema de Lagrange.
Para $g\in G$ , donde $G$ es un grupo, orden de $g$ divide $|G|$ . Esto se debe a que el tamaño del subgrupo generado por $g$ debe dividir $|G|$ y ese tamaño debe ser igual al orden de $g$ .
Por lo tanto, para algún número entero $k$ ,
$$ g^{|G|}=g^{o(g)*k}=1^k=1 $$
Aplicar este resultado al grupo de unidades $U(n)$ con la operación de grupo multiplicación.
lhf
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No se necesita el teorema de Lagrange cuando $G$ es un grupo abeliano finito:
Si $G$ es un grupo abeliano finito de orden $n$ y $a\in G$ entonces $a^n=1$ .
En efecto, consideremos el mapa $x \mapsto ax$ . Este mapa es inyectivo porque $G$ es un grupo y por tanto es suryente porque $G$ es finito. Así, el mapa permuta los elementos de $G$ . Por lo tanto, si los elementos de $G$ son elementos $a_1, \dots, a_n$ entonces $a_1 \cdots a_n = (a a_1) \cdots (a a_n) = a^n a_1 \cdots a_n$ y así $a^n=1$ .
