Confusión en la definición de continuidad

Question

Estoy un poco confundido sobre la definición de continuidad; Una función $f : E \to \mathbb R$ es continua en $c$ si para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ de manera que si $|x c| < \delta$ y $x \in E$ entonces $|f(x) f(c)| < \epsilon.$

En primer lugar, ¿el término por cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ ' significa que delta depende de épsilon, ya que pensé que la definición sugiere que épsilon depende de delta. Además, ¿cómo muestra esta definición la continuidad, si es que alguien puede explicarlo de forma sencilla? Si miro la definición, me he imaginado la gráfica donde $|x c|$ está dentro de delta y que dicta el valor de epsilon para el que $|f(x) f(c)|$ está dentro de épsilon, pero no tengo ni idea de cómo se relaciona con la definición informal de continuidad, en la que se puede dibujar la gráfica sin despegar el bolígrafo del papel.

Answer 1

En respuesta a la primera pregunta, sí, significa que eres capaz de expresar $\delta$ en función de $\epsilon$ .

En cuanto al inglés sencillo: suponga que alguien le da un gráfico, con alguna función $f(x)$ trazado en él, y dibujan una franja que va entre dos $y$ valores, centrados en $x=c$ . La anchura de la banda es $2\delta$ . Te quedará algo parecido a esto

Entonces alguien te pregunta "¿Podrías decirme si la función alrededor del punto $c$ (en la imagen, he elegido sin pérdida de generalidad $c=-3$ como ejemplo) se mantiene dentro de esta banda, por muy grande o pequeña que la haga?". Para responder a esta pregunta, hacemos una observación, que no importa lo grande que sea la banda, siempre podemos definir un rango de la función en la vecindad del punto. Esto corresponde a la siguiente imagen:

Ahora, en respuesta a la pregunta, ¿es esta función continua en el punto $c$ Debemos ser capaces de reducir la anchura de la franja naranja tanto como queramos alrededor de $c$ asegurándose de que el punto $f(c)$ permanece dentro de la franja azul. La continuidad te está diciendo la función en el punto $c$ debe tender a $f(c)$ al acercarse desde algún lugar diferente $x \neq c$ . En el gráfico reconocemos que el encogimiento de la franja es análogo a que nos acerquemos a $x=c$ de algún otro $x\neq c$ en el barrio delimitado por la franja. También lo vemos visualmente

En resumen, la continuidad en un punto $c$ es responder a la pregunta "¿La función alrededor de $c$ tienden a $f(c)$ por un barrio local?"

¿Qué sería una función discontinuo en $c$ ¿se ve así? Bueno, la cuestión es que la función no debe tender a $f(c)$ del barrio. En nuestro ejemplo, vamos a definir una nueva función

$$g(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & x\neq c \\ f(c) + 8 & x=c \end{matrix}\right. $$

En la imagen, esto corresponde a un punto desplazado hacia arriba (es decir, la mancha roja).

Ahora se ve que incluso si empezamos el procedimiento de nuevo con una vecindad lo suficientemente grande

Cuando empezamos a reducirnos de nuevo (lo que equivale a tomar el límite $x\longrightarrow c$ ), el punto $g(c)$ ya no se encuentra dentro de nuestro rectángulo azul: la función ya no es continua en $c$ ¡!