Conjuntos de niveles de funciones simétricas

Question

Si $f(x,y)$ es simétrica (es decir, $f(x,y)=f(y,x)$ ) y $C^1$ tal que sus primeras derivadas $f_x$ y $f_y$ son siempre estrictamente positivos, ¿es necesariamente el caso de que haya una $C^1$ función $g(z)$ con derivada estrictamente positiva tal que $g(x)+g(y)$ tiene las mismas curvas de nivel que $f(x,y)$ ?

Me parece que esto debería ser cierto, pero soy incapaz de demostrarlo o de encontrar un contraejemplo. Parece necesario algún tipo de suposición de suavidad, ya que los ejemplos $f(x,y) = \max(x,y)$ y $f(x,y) = x+y+\max(x,y)$ espectáculo.

Answer 1

SUGERENCIA:

Probablemente no. Dicha función debería satisfacer una determinada ecuación diferencial.

Si una función $h(x,y)$ tiene las mismas curvas de nivel que $f(x,y)$ entonces existe una función $\phi$ una biyección suave para que $$h(x,y)=\phi(f(x,y))$$ La igualdad $$g(x) + g(y) = \phi(f(x,y))$$ puede sustituirse por $$g_1(x) + g_2(y) = \phi(f(x,y))$$ debido a la simetría de $f$ . Ahora las LHS son soluciones de la ecuación $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y} =0$ . Así que estamos buscando $\phi$ para que $$\frac{ \partial^2}{\partial x\partial y} \cdot (\phi(f(x,y)) )= 0$$ o, de forma equivalente

$$\phi''(f(x,y))\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}+ \phi'(f(x,y))\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} = 0$$

Obtenemos $$\frac{\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} }{\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{\phi''(f(x,y))}{\phi'(f(x,y))}= \psi(f(x,y))$$

Por lo tanto, el gradiente de la función $$\frac{\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} }{\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}}$$ es proporcional al gradiente de $f(x,y)$ . Obtenemos una ecuación diferencial (EDP) para $f$ de orden $3$ .

Nota: las funciones simétricas suaves $f(x,y)$ son de la forma $t(x+y, xy)$ . Sustituyendo esto, obtenemos una ecuación diferencial que $t$ debe satisfacer.