Declaración: Si $p$ es un número primo, $G$ es un grupo con $|G| = p^n$ , demuestran que $Z(G)$ es un grupo no trivial (Pista: Demuestre que $p$ divide $|Z(G)|$ ).
Observaciones: Conozco la lógica detrás de ecuación de clase Así que dice $$|G| = |Z(G)|+[G:Z(a_1)]+...+[G:Z(a_k)]$$ donde $a_1,...,a_k$ son elementos elegidos de las clases de conjugación $\bar{a_1}, ..., \bar{a_k}$ donde estas clases de conjugación tienen más de un elemento. Usando eso, pensé que podía demostrar la afirmación por contradicción.
Prueba: Supongamos para una contradicción que $Z(G)$ es un grupo trivial, es decir, $|Z(G)| = 1$ . Entonces no podemos tener $[G:Z(a_i)] = 1$ para $1 \le i \le k$ porque $[G:Z(a_i)] = 1$ significa que $a_i$ tiene un elemento en su clase de conjugación. Pero si ese fuera el caso, entonces estaría incluido en $|Z(G)|$ pero sabemos que $|Z(G)| = 1$ y $Z(G) = \{e\}$ si decimos con más precisión.
Así que $[G:Z(a_i)] > 1$ y como $[G:Z(a_i)]$ es un índice $[G:Z(a_i)]$ divide $|G|$ podemos decir $[G:Z(a_i)] \ge p$ para todos $i$ o $[G:Z(a_i)] \in \{p,p^2,...,p^n\}$ más precisamente.
Después de esto, no pude encontrar la manera de continuar la prueba. Tal vez la prueba por contradicción no era una buena idea desde el principio. ¿Podría alguien decirme ¿Cómo puedo utilizar la pista dada en la pregunta? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias de antemano.
