Mostrar que los pendientes hawaianos no son complejos de CW

Question

Dejemos que $S^1_{1/n}$ sean círculos de radio $1/n$ y origen $(1/n,0)$ en el plano. Quiero demostrar que el espacio $X = \cup_{n=1}^\infty S^1_{1/n} \subseteq R^2$ no es un complejo de CW.

Sé que una forma de demostrar esto es que al mostrar el $X$ no es una topología débil. Quiero saber si hay otra forma de demostrar esto, es decir, por el hecho de que un complejo CW X es compacto si y sólo si tiene finitamente muchas células.

Answer 1

Supongamos que $X$ es un complejo CW. Como dices, debe ser un complejo CW finito porque $X$ es compacto. Sea $e_1, \ldots, e_n$ sean sus celdas abiertas. Obsérvese que todos los $e_i$ están conectadas por un camino.

1. Si un espacio $Z$ es la unión de $m$ subconjuntos conectados por el camino, entonces tiene como máximo $m$ componentes del camino.

Esto es trivial.

2. Para cada $p \in X$ el subespacio $X_ p = X \setminus \{ p \}$ como sólo un número finito de componentes del camino.

Existe un único $j$ tal que $p \in e_j$ . Si $\dim e_j = 0$ entonces $X_p = \bigcup_{i \ne j} e_i$ que tiene como máximo $n-1$ componentes de la ruta. Si $\dim e_j > 0$ entonces $X_p = \bigcup_{i \ne j} e_i \cup (e_j \setminus \{ p \})$ . Si $\dim e_j = 1$ entonces $e_j \setminus \{ p \}$ tiene dos componentes de ruta y $X_p$ tiene como máximo $n+1$ componentes de la ruta. Si $\dim e_j > 1$ entonces $e_j \setminus \{ p \}$ es un camino conectado y $X_p$ tiene como máximo $n$ componentes del camino.

3. Dejemos que $p = (0,0) \in X$ . Este es el punto en el que todos los círculos $S^1_{1/n}$ se reúnen. Entonces cada $S^1_{1/n} \setminus \{p\}$ es un componente de la ruta de $X_p$ .

Esto es una contradicción: Por 2. $X_p$ sólo tiene un número finito de componentes del camino, por 3. tiene infinitos.

Answer 2

Esta es otra forma de mostrarlo. Como usted dice, si $X$ fuera un complejo CW, entonces tendría que ser un complejo CW finito ya que es compacto. Como todo complejo CW finito tiene una homología finitamente generada, basta con mostrar la homología de $X$ no está generada finitamente. Para demostrarlo, basta con observar que para cualquier $n$ , $X$ tiene un repliegue que es una cuña de $n$ círculos (es decir, la unión de $n$ de los círculos que componen $X$ (la retracción sólo mapea todos los demás círculos al origen). El primer grupo de homología de una cuña de $n$ círculos es $\mathbb{Z}^n$ que no puede ser generado por menos de $n$ elementos. De ello se desprende que $H_1(X)$ no puede ser generado por menos de $n$ elementos para cualquier $n$ y, por lo tanto, no puede ser generada finitamente.