Técnicas para refutar el isomorfismo de grupo

Question

Supongamos que quiero averiguar si $f:\mathbb{Z}_6\rightarrow S_3$ es un isomorfismo. Claramente, $f$ es biyectiva. Queda por demostrar que $f(a+b)=f(a)\circ f(b)\;\forall a,b\in \mathbb{Z}_6$ . Para este paso, inventé la siguiente técnica para intentar refutar isomorfismo:

Haga una lista de todos los $a*a$ para cada elemento $a$ . Inmediatamente vemos que $S_3$ contiene cuatro elementos iguales a sus propios inversos (satisfaciendo $a=a^{-1}$ ), pero $\mathbb{Z}_6$ sólo contiene dos elementos iguales a sus propios inversos. Por lo tanto, $f$ no es un isomorfismo.

También busco otros patrones analizando esta lista. Considere los valores de $a*a$ para cada $a\in \mathbb{Z}_6$ , que se enumeran aquí: $\{0, 2, 4, 0, 2, 4\}$ . Podemos ver que hay tres "pares": uno para el 0, otro para el 2 y otro para el 4. Si la lista de $a*a$ para un grupo diferente, digamos $G$ tiene lo siguiente: $\{a,a,a,b,b,c\}$ entonces sabemos que $G\not\cong\mathbb{Z}_6$ simplemente porque $G$ no contiene tres "pares" de elementos que $\mathbb{Z}_6$ de la lista.

¿Cree que esta es una buena manera de refutar el isomorfismo? ¿Qué otras técnicas recomienda (por ejemplo, si $G$ es abeliano pero $H$ no lo es, $G\not\cong H$ )? Estoy estudiando por mi cuenta, y el libro de texto no me ha enseñado ningún método real para demostrar el isomorfismo.

He publicado esta pregunta simplemente para aprender técnicas y nuevas perspectivas para abordar este tipo de problemas. Quiero tener una comprensión general de las diferentes maneras en que podríamos demostrar/desprobar el isomorfismo de grupo para diferentes tipos de problemas. Gracias.

Answer 1

También se podría demostrar esto diciendo que $\mathbb{Z}_6$ es abeliano mientras que $S_3$ no lo es (por tanto, no son isomorfas).

Answer 2

Como han señalado user4894 y Thomas, en este caso, un grupo es abeliano y el otro no, por lo que no pueden ser isomorfos. Como estás buscando técnicas para refutar que dos grupos son isomorfos, aquí tienes una prueba diferente.

Primero hay que tener en cuenta que si $f : G \to H$ es un isomorfismo y $g \in G$ tiene orden $n$ entonces $f(g) \in H$ tiene orden $n$ . Como $f$ es una biyección, vemos que el número de elementos de $G$ de orden $n$ es igual al número de elementos de $H$ de orden $n$ . Por lo tanto, una forma de refutar que dos grupos son isomorfos es demostrar que tienen un número diferente de elementos de un orden determinado.

En este ejemplo, $\mathbb{Z}_6$ tiene un elemento de orden $6$ , a saber $1 \in \mathbb{Z}_6$ pero cada elemento de $S_3$ tiene orden $1$ , $2$ o $3$ . Como $\mathbb{Z}_6$ y $S_3$ tienen un número diferente de elementos de orden $6$ no son isomorfas.