$L_{\infty}$ y la función simple

Question

Supongamos que $f \in L_{1}[a,b]$ tenemos un $c >0$ tal que para cualquier función simple $\phi$ en $[a,b]$ :

$$\left|\int_{[a,b]}\phi f\right| \le c \cdot \|\phi\|_1$$

Demostrar que $f \in L_\infty[a,b]$ y $\|f\|_\infty \le c$

Mi intento: Podemos encontrar una secuencia creciente de fucniones simples $(\phi_n)_{n=1}^\infty$ tal que $\phi_n \to |f|$ . Así, $\|\phi_n\|_\infty \to \|f\|_\infty$ . Después, quiero encontrar otra secuencia de función simple $(\psi_n)_{n=1}^\infty$ tal que $\|\psi_n\|_1 = 1$ y $\int_{[a,b]}|\psi_n \phi_n| = \|\phi_n\|_{n=1}^\infty$ Entonces, utilizando la hipótesis, puedo resolver esta cuestión. Pero, ¿cómo puedo construir mi $(\psi_n)_{n=1}^\infty$ ? Agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

Ya has empezado con buen pie. El uso de secuencias de funciones simples es poderoso.

En primer lugar le seguimos y obtenemos una secuencia creciente de funciones simples no negativas $(\phi_n)_{n=1}^{\infty}$ , $\phi_n\rightarrow |f|$ . Así, $\|\phi_n\|_{\infty} \rightarrow \|f\|_{\infty}$ .

Obsérvese que para cualquier función simple $\phi_n$ , $\|\phi_n\|_{\infty} = M_n<\infty$ por lo que para cualquier $\varepsilon>0$ existe $A_n$ , de tal manera que $\mu(A_n) = a_n>0$ y $|\phi_n(x)|>M_n-\varepsilon,\ \forall x\in A_n$ . Dejemos que $\psi_n = \frac{1}{a_n}1_{A_n}(x)$ entonces $\|\psi_n\|_1 = 1$ y $\psi_n$ es una función simple. Además, tenemos

$$\int_{[a,b]}\phi_n \psi_n = \frac{1}{a_n}\int_{A_n}\phi_n>M_n-\varepsilon.$$

Por la monotonía de $\phi_n$ para cualquier $m>n$ tenemos $$\int_{[a,b]}\phi_m \psi_n=\frac{1}{a_n}\int_{A_n}\phi_m>M_n-\varepsilon,$$ desde $\phi_m(x)\geq\phi_n(x)>M_n-\varepsilon,\ \forall x\in A_n$ .

Entonces, por el teorema de convergencia dominante, mantener $n$ fijo y dejar que $m\rightarrow \infty$ (nota que $f\in L_1[a,b]$ ), tenemos

$$c= c\|\psi_n\|\geq|\int_{[a,b]}\psi_n f|\leftarrow |\int_{[a,b]}\psi_n \phi_m| >\|\phi_n\|_{\infty}-\varepsilon$$

Entonces dejemos que $n\rightarrow \infty$ obtenemos $\|f\|_{\infty}<c + \epsilon$ . Desde $\varepsilon$ es arbitraria, obtenemos $\|f\|_{\infty}\leq c$ .

Esperemos que esta vez no haya errores jaja @_@.