Si $\frac{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}-1}{(a_{1}-1)(a_{2}-1)(a_{3}-1)\cdots(a_{n}-1)}\in \mathbb{N}^{+}$ Cómo encontrar $a_{i}$

Question

Pregunta:

Dejemos que $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ es un número entero positivo, y tal $1<a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ y $$\dfrac{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}-1}{(a_{1}-1)(a_{2}-1)(a_{3}-1)\cdots(a_{n}-1)}\in \mathbb{N}^{+}$$ encontrar el $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ ?

Conozco estos casos particulares:

Cuando $n=3$

Si $1<a_{1}<a_{2}<a_{3}$ y $$\dfrac{a_{1}a_{2}a_{3}-1}{(a_{1}-1)(a_{2}-1)(a_{3}-1)}\in \mathbb{N}^{+}$$ entonces tenemos $(a_{1},a_{2},a_{3})=(2,4,8)$ o $(3,5,15)$ y esta solución completa puede ver solución de enlace

y cuando $n=4$ ,

Este es el problema mensual de 1996: Encontrar todos los conjuntos de enteros distintos $1 < a < b < c < d$ , como por ejemplo $$\dfrac{abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)}\in \mathbb{N}^{+}$$ entonces tenemos $(a,b,c,d)=(2,4,10,80)$ o $(3,5,17,255)$ y la solución completa se puede encontrar aquí: http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/AMM10523.pdf

¿Y el caso general?

Gracias

Answer 1

Supongamos que $x_k=a_k-1$ . Entonces $x_1,x_2,\cdots,x_n$ son enteros positivos tales que $0<x_1<x_2<\cdots<x_n$ . Además tenemos $x_1 \geq 1$ y $x_m \geq x_{m-1}+1$ . Nuestra función

$$R(\mathbf{x}) = \frac {\prod_{k=1}^{n}(x_k+1)-1}{\prod_{k=1}^{n}x_k}, \quad R \in \mathbb{N}^+$$

Para abreviar la historia, aquí están las soluciones:

Caso $n=1$ : $R( \mathbf{x})=1$ . Soluciones: $x_1=1,2,\dots$

Caso $n=2$ : No hay soluciones

Caso $n=3$ : 2 Soluciones $(x,y,z,R)=(2,4,14,2)$ o $(1,3,7,3)$

Caso $n=4$ : 2 Soluciones $(w,x,y,z,R)=(2,4,16,254,2)$ y $(1,3,9,79,3)$

Caso $n=5$ : 2 Soluciones: $(v,w,x,y,z,R)=(2,4,16,256,65534,2)$ y $(1,3,9,81,6559,3)$

¿Puedes detectar el patrón? R es siempre 2 o 3. Para la solución par se empieza con $2$ , luego se eleva al cuadrado, luego se eleva al cuadrado y así sucesivamente, excepto que al final se eleva al cuadrado y se resta $2$ . De forma similar, para el caso impar, comenzando por 1 y utilizando potencias de $3$ . Fácilmente generalizable. Pero estos números son enormes: la solución par para n=8 es

$2$ ,

$4$ ,

$16$ ,

$256$ ,

$65536$ ,

$4294967296$ ,

$18446744073709551616$ ,

$340282366920938463463374607431768211456$ ,

$115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639934$ .

Ahora tengo que dormir un poco y mañana publicaré la prueba.