Aproximación de la función en c.c.c Forzamientos sin CA en el modelo de tierra

Question

Consideremos el siguiente teorema básico.

Teorema. Si $M$ es un c.t.m de ZFC y $\mathbb{P}$ una noción de forzamiento del c.c.c. en $M$ y $G$ a $\mathbb{P}$ - filtro genérico en $M$ entonces para todos $A,B$ en $M$ y para toda función $f:A\longrightarrow B$ en $M[G]$ existe una función $F:A\longrightarrow P(B)$ en $M$ tal que $\forall a\in A~~~f(a)\in F(a)~\wedge~(|F(a)|\leq \aleph_{0})^{M}$ .

$F$ es una aproximación para $f$ en $M$ . Pero en la prueba clásica utilizamos $AC$ para demostrar la contabilidad del conjunto $F(a)$ en $M$ para cada $a\in A$ .

Pregunta. Si eliminamos $AC$ del modelo de tierra $M$ podemos garantizar la contabilidad del conjunto $F(a)$ para cada $a\in A$ ? ¿Podemos poner un límite superior para el tamaño de los conjuntos $F(a)$ ¿en absoluto?

Answer 1

Este es un tema delicado, porque las anticadenas se rompen fácilmente cuando no se utiliza el axioma de elección.

Más concretamente, es consistente que exista un orden parcial que satisfaga la condición de cadena contable, simplemente porque toda anticadena es finita y no hay anticadenas máximas infinitas. En otros órdenes parciales puede que no haya anticadenas máximas en absoluto.

Ya que estamos, el principio de maximalidad en el forzamiento es equivalente al axioma de elección, por lo que se falla (me refiero al hecho de que $p\Vdash\exists\tau\varphi(\tau)\iff \exists\dot\tau\ p\Vdash\varphi(\dot\tau)$ que se utiliza a menudo en el forzamiento).

Además, en forzamientos peculiares como los que he mencionado anteriormente, se espera generalmente que el principio de maximalidad falle. Haciendo de esto un problema de doble problema.

Pero, de nuevo, no todo está perdido. Como señala Mohammad, la cardinalidad del poset forzado es un límite superior. Y ese límite superior funciona para cada función, y cada dos conjuntos en el modelo de tierra. Aunque esto no es necesariamente una $\aleph$ número, sigue siendo un límite superior en cierto sentido.

Si $1_P\Vdash\dot f\colon\check A\to\check B$ , entonces toda condición debe coincidir en que $\dot f$ es el nombre de una función. Por lo tanto, si $p\Vdash\dot f(\check a)=\check b$ entonces esto $b$ es único. Así que si definimos $F(a)=\{b\in B\mid\exists p\ p\Vdash\dot f(\check a)=\check b\}$ entonces existe una suryección desde $P$ en $F(a)$ , si $p$ no decide el valor de $\dot f(\check a)$ entonces lo mapea a algún elemento fijo; en caso contrario lo mapea al valor que haya decidido.

Por supuesto, en ausencia de elección, la existencia de una suryección no tiene por qué implicar la existencia de una inyección, así que si se quiere un límite superior en el sentido de las inyecciones ( $\leq$ ) en lugar de las proyecciones ( $\leq^*$ ) hay que tener en cuenta $2^P$ en su lugar.

Lo anterior puede evitarse si $P$ ya es un álgebra booleana completa. En ese caso definimos una inyección de $F(a)$ en $P$ definido por $b\mapsto\sum\{p\mid p\Vdash\dot f(\check a)=\check b\}$ . Desde $P$ es un álgebra booleana completa esta condición existe, y es única. Como señala Andreas Blass, en el caso de un álgebra booleana completa que satisfaga c.c.c. los distintos valores de $\dot f(\check a)$ forman una anticadena, que por tanto es contable.