¿Cómo es $x(2x+7)+3$ igual a $(2x+1)(x+3)$ ?

Question

Por alguna razón, $x(2x+7)+3$ parece que debería ser igual a $(2x+7)(x+3)$ en lugar de $(2x+1)(x+3)$ . ¿Cómo es que $(2x+1)$ ¿Factor de salida?

La ecuación original era $2x^2+7x+3$ .

Prueba de ello: https://www.desmos.com/calculator/2xpcqznkio Observe cómo $x(2x+7)+3$ y $(2x+1)(x+3)$ se superponen, pero $(2x+7)(x+3)$ ¡no lo hace!

Answer 1

$2x+7$ es un factor del primer término, claramente. Pero no es un factor del segundo término. Y por lo tanto no puede ser un factor de la expresión completa.

Se podría argumentar a favor de la $(2x+1)$ versión como esta: $$ x(2x+7)+3 = x(2x+1+6) + 3\\ = x(2x+1) + 6x + 3\\ = x(2x+1) + 3(2x+1)\\ = (x+3)(2x+1) $$ Sin embargo, esto no dice mucho sobre cómo se encontraría tal cosa en primer lugar.

Si quieres encontrar la factorización por tu cuenta, sin saber la respuesta de antemano, podrías mirar la ecuación cuadrática original, y luego usarla para cualquier expresión cuadrática $ax^2 + bx + c$ tenemos $$ ax^2 + bx + c = a(x-r_1)(x-r_2) $$ donde $r_1, r_2$ son las dos raíces de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ que se encuentra utilizando la fórmula cuadrática estándar: $$ r_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad r_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ O bien, puede completar el cuadrado y luego utilizar la diferencia de cuadrados (siguiendo básicamente la prueba de la fórmula cuadrática anterior) para obtener $$ 2x^2 + 7x + 3 = \frac{16x^2 + 56x + 24}8\\ = \frac{16x^2 + 56x + 49 - 49 + 24}{8}\\ = \frac{(4x + 7)^2 - 25}{8}\\ = \frac{(4x + 7+5)(4x+7-5)}{8}\\ = \frac{4x+12}{4}\cdot\frac{4x+2}{2}\\ = (x+3)(2x+1) $$

Answer 2

Computar $(2x+1)(x+3)$ . Obtenemos $(2x^2+6x)+(x+3)=2x^2+7x+3$ . Así que, ¿por qué crees que podría ser $(2x+7)(x+3)$ ?

Answer 3

Es imposible para $2x^2+7x+3$ para que se tenga en cuenta $(2x+7)(x+3)$ porque al expandir los paréntesis, el término constante es $21$ - no $3$ .

Una forma de factorizar cuadráticas sin la fórmula cuadrática, donde el coeficiente principal $a \ne 1$ es así:

$$ \begin{array} {c|c|c} 2x^2 & ? \\ \hline ? & 3 \\ \end{array} $$

Aquí tenemos que "dividir" el $x$ plazo, o $7x$ en las dos cajas restantes. Pruebe a dividir $x$ de diferentes maneras - una podría ser $x$ y $6x$ así:

$$ \begin{array} {c|c|c} 2x^2 & x \\ \hline 6x & 3 \\ \end{array} $$

Sin embargo, $2x^2$ factores en $x(2x+1)$ y $6x+3$ factores en $3(x+2)$ que no coincide. ¿Se puede encontrar una manera de dividir el $7x$ ¿para que las dos filas tengan el mismo factor?

Answer 4

Dejemos que $7 = 1 + 6$ entonces $$\begin{align} x(2x+7) + 3 &= x(2x + 1 + 6) + 3 \\ &= x(2x + 1) + 6x + 3 \\ &= x(2x + 1) + 3(2x + 1) \\ &= (2x+1)(x+3)\end{align}$$ como es de desear.