Base de un subespacio con un vector móvil

Question

Tengo un problema y no sé si tiene solución.

Intento explicarte un ejemplo simplificado respecto al escenario que tengo pero que te da una buena idea de cuál es mi problema.

Puedes mirar la siguiente figura para ayudar a tu mente a pensar en el problema.

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Imaginemos que tenemos un conjunto de 2 vectores $v_1$ y $v_2$ que abarcan un plano $\pi$ . Los vectores $v_1$ y $v_2$ son fijos. Ahora te pregunto:

Tengo un vector $v$ que va cambiando con el tiempo, que ya está abarcada por $v_1$ y $v_2$ y quiero una nueva base del plano $\pi$ que incluye el vector $v$ y una entre $v_1$ y $v_2$ . Dado que 2 vectores son suficientes para darnos una base de un plano, ¿cómo elegir qué vector entre $v_1$ y $v_2$ ¿se puede quitar?

Por supuesto, podemos eliminar al azar uno de ellos y tomar el otro. Esto funcionará, quiero decir que tendré una base de $\pi$ formado por $v$ y una entre $v_1$ y $v_2$ pero esto no funcionará si, con el tiempo, $v$ se convierte en paralelo a la que yo elegí. En este caso debería haber elegido el otro.

Mi conclusión es que no es posible saber esto a priori y es por esta razón que el problema no es sencillo.

¿Qué le parece?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Yo sugeriría tomar el vector $v$ y su complemento ortogonal $v^\perp$ en el plano $\pi$ es decir, el vector $$v^\perp=av_1+bv_2$$ que es la solución de la ecuación $$v^\perp \cdot v = 0.$$ Esto evitará el problema de que un vector "desaparezca" cuando $v$ es paralelo a uno de los $v_1$ o $v_2$