$I = [0,1]$ con topología euclidiana. $f : I \rightarrow I^2 = I \times I$ . Si f es sobreyectiva entonces f no es inyectiva

Question

Tengo este problema que parece trivial, pero no sé cómo llegar a la respuesta. Tengo el conjunto $[0,1]$ con la topología euclidiana, y una función continua arbitraria $f : I \rightarrow I^2 = I \times I$ . Necesito demostrar que si es sobreyectiva entonces no puede ser inyectiva.

Traté de pensar en el problema de esta manera: si $f$ es suryectiva y también inyectiva, entonces tendríamos un homeomorfismo entre $I$ y $I \times I$ .

Quería decir que uno es compacto y el otro no para llegar a una contradicción. Sin embargo en mi opinión ambos son compactos porque el producto de los compactos también lo es, así que no veo por qué sería un problema tener la propiedad inyectiva. ¿Algún consejo?

Answer 1

Sugerencia: en lugar de la compacidad, es posible que quieras mirar la conectividad. Ahora ambos $I$ y $I \times I$ están conectados, así que eso no hace mucho. Pero, ¿qué sucede si se elimina un punto de cada uno de ellos?

Answer 2

Como I es Hausdorf compacto, f es un mapa cerrado.
Por lo tanto, si f fuera una biyección, sería un homeomorfismo.
Como I e I×I no son homeomorfos, f no puede ser biyectiva.
No son homeomórficos porque I tiene puntos de corte e IxI no.
Un punto de corte es un punto cuya eliminación desconecta el espacio.