Sabemos que $2+2 = 2 \times 2 = 2^2$ . ¿Es esto cierto para todas las hiperoperaciones sucesivas?

Question

Dado que la multiplicación es una suma repetida y la exponenciación es una multiplicación repetida, si siguiéramos adelante, ¿cuál sería el resultado de las sucesivas hiperoperaciones? Si tomamos el siguiente paso después de la exponenciación que es la tetración, resulta que $2 \uparrow 2$ nos da de hecho $4$ como resultado. Con un patrón establecido, mi hipótesis inicial es que el resultado de cualquier hiperoperación aplicada entre $2$ y $2$ va a ser igual.

¿Cuál sería la forma correcta de demostrar si esto es cierto o no de forma rigurosa? Supongo que probablemente tengo que definir algún tipo de función de orden superior para la secuencia de hiperoperaciones, y luego encontrar alguna relación entre una operación y la operación que le sigue para determinar mi resultado.

Por cierto, no se trata de un problema de deberes, aunque imagino que podría serlo. Es sólo algo que me vino a la mente, que pensé que sería interesante para tratar de encontrar una respuesta.

Answer 1

A partir de la definición de flecha de Knuth, se puede ver fácilmente que: $$ 2\uparrow^{n}2=2\uparrow^{n-1}2 $$ Sólo tienes que aplicar el $\uparrow^{n-1}$ a dos dos. Y puedes hacer esto una y otra vez hasta que consigas $2\uparrow2$ que es 4. Así que es cierto.

Answer 2

Definición. Definir $\uparrow:\mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N$ recursivamente.

$m\uparrow^0 n:=mn\\ m\uparrow^{k+1} 0:=1\\ m\uparrow^{k+1} n+1:=m\uparrow^{k}(m\uparrow^{k+1}n)$

Lema 1. $\forall m\forall k.m\uparrow^k 1=m$

Prueba. Si $k=0$ , $m\uparrow^0 1:=m1=m$ . Supongamos que $m\uparrow^k1=m$ . Entonces $m\uparrow^{k+1}1=m\uparrow^k(m\uparrow^{k+1}0)$ . Por Definición de $\uparrow$ concluimos $m\uparrow^{k+1}1=m\uparrow^k 1$ .

$\square$

Teorema. $\forall k.2\uparrow^k 2=4$

Prueba. Si $k=0$ , $2\uparrow^0 2:=2\cdot 2=4$ . Supongamos que $2\uparrow^k2=4$ . Entonces $2\uparrow^{k+1}2=2\uparrow^k(2\uparrow^{k+1}1)$ . Por Lema 1 de $\uparrow$ concluimos $2\uparrow^{k+1}2=2\uparrow^k 2$ .

$\square$