Si A y B están conectados por un camino, entonces AUB está conectado por un camino

Question

Sean A y B subconjuntos de un espacio topológico X tales que $A \cap cl(B)\neq \emptyset$ . Demuestra o refuta la siguiente afirmación:

Si A y B están conectados por un camino, entonces $A\cup B$ está conectado a la ruta.

Intuitivamente creo que esto es falso ya que aunque A contiene un punto límite de B, no parece necesario que exista un camino entre un punto de B y $cl(B)$ . Pero no se me ocurre ningún contraejemplo.

¿Puede alguien ayudar, por favor?

Gracias

Answer 1

Contraejemplo: La curva sinusoidal de los topólogos, un subespacio de $\mathbb R^2,$ es $$X= A\cup B$$ $$ \text {where }\quad A=\{0\}\times [-1,1]$$ $$ \text { and }\quad B=\{(x,\sin (1/x)): x\in (0,1)\}.$$ Tenemos $A=Cl_X(B).$ Y claramente $A$ y $B$ son subespacios conectados por trayectorias de $X$ . Pero $X$ no está conectado a la ruta.

Notación: $B((0,v),d)=X\cap \{(x,y): |x|<d\land |y-v|<d\}.$

La idea de la prueba es que para $(0,v)\in A,$ si $d\in (0,1)$ y $S\subset B((0,v),d)$ con $A\cap S\ne \emptyset \ne S\cap B,$ entonces $S$ está desconectado.

Supongamos que $f:[0,1]\to X$ es continua con $f(0)\in A$ y $f(1)\in B.$ Dejemos que $$s_0=\sup \{s\in [0,1]: A\supset \{f(t):t\in [0,s]\}\;\}.$$ Entonces $f(s_0)\in A$ porque $f$ es continua y $Cl_X(A)=A.$ Y $s_0<1$ porque $f(1)\in B.$

Existe $t\in (0,1-s_0)$ tal que $$X\cap B(f(s_0),1/2)\supset S=\{f(s):s\in T\},$$ $$\text { where }\quad T=[0,1]\cap (s_0-t,s_0+t).$$ Pero $S\cap A\ne \emptyset \ne S\cap B .$ (Es decir, $f(s_0)\in S\cap A,$ y $S\cap B\ne \emptyset$ por def'n de $s_0$ ). Así que $S$ está desconectado. Pero $S$ es la imagen continua del conjunto conectado $T$ una contradicción.

Observación: $X$ es un ejemplo favorito de un espacio conectado que no está conectado por un camino. La conectividad de $X$ se deduce del hecho de que $B$ es un subconjunto abierto y denso de $X.$