Forma cerrada para $\mathbb{E}[\ln (1-p)]$ , para $p \sim Beta(\alpha, \beta)$

Question

Sabemos que si $p \sim Beta(\alpha, \beta)$ entonces $$ \mathbb{E}[\ln p] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta) $$ donde $\psi(.)$ es la función Digamma. ¿Existe una forma fácil de $ \mathbb{E}[\ln (1-p)]$ ?

Answer 1

Denote $$ 1-p = q $$ Por la simetría de la distribución beta, $$ q \sim \text{Beta}(\beta, \alpha) $$ Utilizando la identidad de su pregunta, tenemos $$\mathbb{E}[\ln (1-p)]=\mathbb{E}[\ln q]=\psi(\beta)-\psi(\alpha+\beta)$$