Hace una triangulación sin simplex propiedad existir siempre?

Question

Supongamos que tenemos un triangulable espacio topológico $X$. Si $X$ tiene el punto fijo de la propiedad (FPP), entonces, obviamente, para cada triangulación $K$ $X$ y cada simplicial mapa de $f:K\to K$ símplex $\sigma\in K$ existe tal que $f(\sigma)=\sigma$. Esto se llama el fijo simplex propiedad (FSP).

Uno puede dar ejemplos de simplicial complejos (que se incluye a continuación) con FSP cuya geométricas realizaciones no han FPP. Por otra parte, las triangulaciones de espacios sin FPP existe cuya iterada baricéntrico subdivisiones todos tienen FSP.

Es cierto que si $X$ es triangulable espacio sin FPP, luego de una triangulación de $X$ existe que no tiene FSP? Una pregunta relacionada: dada una triangulación $K$$X$, podemos encontrar un (no baricéntrico) de la subdivisión de $K$ que no tiene FSP?

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Ejemplo (tomado de J. A. Barmak de la tesis (p. 101), que a su vez cites K. Baclawski y A. Björner "puntos Fijos en la parte de conjuntos ordenados" (Adv. de Matemáticas. 1979)):

Considere la posibilidad de regular CW-complejo (cuadrado + 4 triángulos) $C$ que es la frontera de una pirámide de base cuadrada. $C$ es homeomórficos a $S^2$, por lo que no tiene la FPP. Deje $K$ ser la siguiente subdivisión de $C$: dividir cada uno de los 3 lados triangulares en 3 triángulos mediante la adición de un vértice en el centro y dividir la parte inferior de la plaza en 4 triángulos de la misma manera.

Nombre del vértice superior de la pirámide $x$. Deje $f:K\to K$ ser simplicial. Si $f$ a (en los vértices), entonces, por la finitud de $K$, $f$ es un automorphism. Desde $x$ es de las únicas vértice que pertenece a exactamente ocho 1-simplices, es un punto fijo. Si $f$ no es sobre, entonces $|f|$ es nullhomotopic y por lo tanto el número de Lefschetz $\lambda(f)=1$. $|f|$ tiene un punto fijo, por lo $f$ corrige un simplex.

El mismo argumento (solo en el conteo del 1-simplices que $x$ y otros vértices pertenecen a) se aplica a los arbitraria baricéntrico subdivisiones de $K$.

Sin embargo, si en $C$ subdividir sólo la base cuadrada en 4 triángulos mediante la adición de un vértice en el medio, entonces se obtiene un complejo simplicial no tiene FSP.

Answer 1

EDITADO. El arugment relacionados con Mostov rigidez es completada de acuerdo a una buena sugerencia de Tom Iglesia

La respuesta a la primera pregunta es no. Hay exsit colectores de dimensión 3, tales que cada simlicial mapa de la manfiold a sí mismo (para cualquier simplicial de descomposición) tiene un punto fijo (y, por tanto, una fija simplex). Al mismo tiempo, cada 3-mafiold adimits un suave auto-mapa sin puntos fijos.

Es decir, tomar $M^3$ a la desaparición de primero y segundo de homología ($H_1(M^3,R)=H_2(M^3,R)=0$) y que es un hiperbólico 3-colector. Además de tomar tales $M^3$ que no tiene isometrías. La existencia de estos colectores es un resultado estándar de 3 dimensiones de la geometría hiperbólica. Vamos a demostrar que cada una de estas colector nos da un ejemplo.

Prueba. Compactos de 3-variedades tienen cero de Euler características, por lo que en $M^3$ hay un no-desaparición de campo vectorial $v$. Tome el flujo de $F_t$ generado por $v$ cortos de tiempo $t$. Esto nos dará una familia de diffeo $F_t$ $M^3$ que no tienen puntos fijos para las pequeñas $t$. Por lo $M^3$ en no FPP.

Ahora, vamos a mostrar que $M^3$ ha FSP. Tomar cualquier simplicial descomposición de $M^3$. Primero hemos estado un simple lema (sin prueba)

Lema. Considere la posibilidad de un simplicial de descomposición de un pacto orienable colector. Supongamos que tenemos un simpicial mapa de a sí mismo, que enviar simplexes de dimensiones superiores a simplexes de mayores dimensiones (es decir, no el colapso) y no se identifica con ellos. Entonces esto es una automorphism de orden finito.

Corolario. Todos los no-idéntico simplicial mapa de $\phi$ $M^3$ a en sí, o bien se derrumba un simplex de dimensión 3 o identifica dos simplexes. En paricular el generador de $H^3(M^3,\mathbb Z)$ es enviado a cero por este mapa.

Este corolario junto con Lefshetz punto fijo teorema implica inmediatamente que $\phi$ tiene un punto fijo, y por lo que demuestra FSP para $M^3$ (usamos ese $H_1(M^3)=H_2(M^3)=0$).

La prueba del corolario. Si $\phi$ no colapse 3 simplexes de $M^3$ o identificar a ellos, entonces es un homeomorphism de $M^3$ finito de orden (Lema anterior). De Mostov rigidez de ello se desprende que este automorphism es homotópica a la identidad. Con el fin de mostrar que ES en realidad la identidad necesitamos usar más involucrados declaración suggseted por Tom Iglesia de abajo. Es decir, un paritial caso de la Proposición 1.1 en http://www.math.uchicago.edu/~farb/papers/oculto.pdf
dice que por un hiperbólico 3-colector el grupo de isometrías de cualquier Riemanninan métrica en la que es isomorfo a un subgrupo del grupo de isometrías hiperbólicas. Por nuestra elección el grupo de isometrías hiperbólicas de $M^3$ es trivial. Está claro que $\phi$ conserva una métrica de Riemann en $M^3$. Así que por la Proposición 1.1 es la identidad.

De esto se sigue inmediatamente que $\phi$ envía $H^3(M^3, Z)$ a cero (ya que el volumen está en contacto). Final de la prueba.