Relación de dispersión para las ondas TE y TM en un medio anisótropo general

Question

Quiero calcular la relación de dispersión (la relación entre $\bf k$ y los tensores de permitividad y permeabilidad y $\omega$ ) para una onda TE y una onda TM con vector de onda $\mathbf k=k_x\mathbf {\hat x}+k_z\mathbf {\hat z}$ que se propaga en un medio anisótropo con tensores de permeabilidad y permitividad diagonales generales $ \mu=\mu_0 \tilde \mu$ y $\epsilon=\epsilon_0 \tilde \epsilon$ con $\tilde \epsilon$ y $\tilde \mu$ que se indican a continuación.

Escribo las ecuaciones del rizo de Maxwell para los campos con una dependencia espacio-temporal de la forma $\exp(-ik_0\bf k\cdot r+i\omega t)$ (con $k_0=\omega\sqrt{\epsilon_0\mu_0})$ en el $k$ dominio como siempre:

$$\bf k\times \bf E=\bf {\tilde \mu} \bf B$$ $$\bf k\times \bf H=-\bf{ \tilde \epsilon} \bf E $$

donde $\bf{ \tilde \epsilon}$ y $\bf {\tilde \mu}$ son matrices adimensionales: $$\begin{pmatrix} \epsilon_x & 0 &0 \\ 0 & \epsilon_y & 0\\ 0 &0 &\epsilon_z \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \mu_x & 0 &0 \\ 0 & \mu_y & 0\\ 0 &0 &\mu_z \end{pmatrix}$$ escribir los productos vectoriales $\bf k\times \bf H$ y $\bf k\times \bf E$ como multiplicación de matrices $\bar k \bf H$ con $$\bar k=\begin{pmatrix} 0 & -k_z &k_y \\ k_z & 0 & -k_x\\ -k_y &k_x &0 \end{pmatrix}$$

Reescribo las ecuaciones del rizo como: $$\cases{ \bar k \bf H=-\tilde \epsilon\bf E\\\bar k \bf E=\tilde \mu \bf H}\to\cases{(\bar k \tilde \mu^{-1}\bar k+\tilde \epsilon)\bf E=0 \\(\bar k \tilde \epsilon^{-1}\bar k+\tilde \mu)\bf H =0 }$$ Ahora, el determinante de las matrices de coeficientes $\bar k \tilde \epsilon^{-1}\bar k+\tilde \mu$ y $\bar k \tilde \mu^{-1}\bar k+\tilde \epsilon$ debe ser cero para que los sistemas tengan soluciones no triviales.

Mi pregunta es, ¿en qué punto de este proceso debo considerar la suposición de que las ondas sean TM o TE? Sé que la relación de dispersión final depende de esto (ser TE o TM)

Answer 1

Las ondas TE y TM sólo interactúan con aquellos elementos de los tensores de permitividad y permeabilidad que la onda tiene un campo eléctrico y magnético no nulo a lo largo de ellos, respectivamente. así que con un vector de onda $\mathbf k=k_x\mathbf {\hat x}+k_z\mathbf {\hat z}$ para una onda TE solamente $\epsilon_y$ interactúa con el campo E y sólo $\mu_z$ y $\mu_x$ interactúan con el campo H. Para una onda TM, sólo $\epsilon_z$ y $\epsilon_x$ interactuar con E el campo y sólo $\mu_y$ interactúa con el campo H.

Después de calcular el determinante que has obtenido, e incorporar los hechos anteriores (poniendo a cero los elementos no interactuantes de los tensores materiales para cada caso, más $k_y=0$ ) encontraremos :

$$\frac{k_x^2}{\epsilon_z}+\frac{k_z^2}{\epsilon_x}=\omega ^2\mu_y\tag {TM}$$

$$\frac{k_x^2}{\mu_z}+\frac{k_z^2}{\mu_x}=\omega ^2\epsilon_y\tag{TE}$$ $$$$