La convexidad de una función complicado

Question

Deje $\mathbb{S}$ 2-D conjunto convexo en el cuadrante positivo. Vamos a definir \begin{align} y_L=\min_{(x,y)\in\mathbb{S} }y \\ y_R=\max_{(x,y)\in\mathbb{S} }y \end{align} Para cualquier número positivo $p\in[p_L,p_R]$ donde$p_L=\frac{1}{y_R}$$p_R=\frac{1}{y_L}$, la función de definir \begin{align} f(p)=\min_{(x,y)\in\mathbb{S} }px~,~s.t.~~py\geq 1 \end{align} donde $s.t.$ significa "objeto". ¿Cuál es la naturaleza de la $f(p)$? Es convexo o cóncavo?

Answer 1

$$\begin{eqnarray} f(p) & = & \min_{(x,y)\in\mathbb{S}\text{ s.t. }py\geq1} px \\ & = & \min_{y\geq1/p} \left( \min_{x\text{ s.t. }(x, y)\in\mathbb{S}} px \right) \\ & = & p \min_{y\geq1/p} \left( \min_{x\text{ s.t. }(x, y)\in\mathbb{S}} x \right) \\ & = & p\,h(1/p) \end{eqnarray}$$

donde

$$\begin{eqnarray} h(y') & = & \min_{y\geq y'} g(y) \\ g(y) & = & \min_{x\text{ s.t. }(x, y)\in\mathbb{S}} x \end{eqnarray}$$

Todas las dependencias de $f$ $\mathbb{S}$ factores a través de las funciones $g$$h$.

Desde $\mathbb{S}$ es convexa, $g$ es convexa, por lo cual me refiero a que una línea recta en función de $y$ puede exceder $g(y)$ sólo en la conexión de un intervalo de $y$. Para cualquier función convexa $g'$ en el correspondiente cuadrante, podemos tener a $\mathbb{S} = \left\{ (x,y) \mid x\geq g'(y)\right\}$ y, por tanto,$g = g'$. Por lo tanto sabemos nada más acerca de $g$; es una arbitraria función convexa.

$h$ hereda la convexidad de la propiedad, y además es no decreciente. Para cualquier convexo no la disminución de la función $h'$ en el correspondiente cuadrante, podemos tener a $g = h'$ y, por tanto,$h = h'$. Por lo tanto, no sabemos nada más acerca de $h$; es una arbitraria no decreciente función convexa.

Entonces, ¿qué podemos decir acerca de $f(p) = p\,h(1/p)$? Es fácil de buenos ejemplos donde se disminuye y ejemplos en los que se aumenta, por lo que nos puede decir algo interesante sobre su monotonía. Sin embargo, es convexa, como voy a mostrar ahora.

Supongamos que, si es posible, que $s(p) = mp+c$ es la línea recta que refuta la convexidad de $f(p)$, es decir, existen dos valores de $p_1$ $p_2$ tal que $s(p_1) = f(p_1)$ $s(p_2) = f(p_2)$ pero $s(p) < f(p)$ todos los $p_1<p<p_2$.

Deje $y_1 = 1/p_1$ $y_2 = 1/p_2$ y definir la línea recta $t(y) = c'y+m'$ a través de los puntos de $(y_1, h(y_1))$$(y_2, h(y_2))$.

Por la convexidad de $h$,$h(y) \leq t(y)$$y_2 < y < y_1$.

Por lo tanto, $f(p) = p\,h(1/p) \leq p\,t(1/p)$$p_1 < p < p_2$.

Deje $u(p) = p\,t(1/p) = m'p + c'$, también en línea recta. Desde $u(p_1) = s(p_1)$$u(p_2) = s(p_2)$,$u = s$.

Por lo tanto, $f(p) \leq s(p)$ en este rango. Sin embargo, asumimos $s(p) < f(p)$ en este rango. Esta es la necesaria contradicción.

Answer 2

Creo $f$ tiene que ser convexo. Vamos $$ \mathbb S=\{(x,y)\mid x\ge 0\text{ y }0\le y\le g(x)\} $$ donde $g$ es creciente y cóncava. Creo que podemos asumir $\mathbb S$ es de esta forma, en el sentido de que $\mathbb S$ está contenida en un mínimo de tales conjuntos que tienen la misma función de $f$.

A continuación, en términos de $u=1/p$, $$ u \cdot f(1/u)=\min \{ x : \existe y\ge u\; (x,y)\in\mathbb S\} = g^{-1}(u) $$ así $$ f(p)=p\cdot h(1/p) $$ donde $h=g^{-1}$. Desde $g$ es cóncava, $h$ es convexa, lo que implica $f$ es convexo: $$ f'(p)=h(1/p)+p\cdot h'(1/p)\cdot (-p^{-2}) = h(1/p)- h'(1/p)\cdot (p^{-1}) $$ $$ f"(p)=h'(1/p)(-p^{-2}) - h"(1/p)(-p^{-2})\cdot (p^{-1})-h'(1/p)(-p^{-2}) $$ $$ -p^2 f"(p)= h'(1/p) - h"(1/p)\cdot (p^{-1})-h'(1/p) = - h"(1/p)\cdot (p^{-1}) $$ $$ p^3 f"(p) = h"(1/p) > 0 $$ En realidad me encontré con esta pregunta en MathOverflow, y mi respuesta sólo se ocupa de la diferenciable caso.