Estaba leyendo el artículo de la wikipedia sobre clasificación de los colectores y menciona que los 4 manifolds no son geometrizables, al contrario que en dimensiones inferiores. Da a entender que esto significa que, en el caso de los 2 y 3 manifolds, admiten geometría. ¿Qué quiere decir esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para una buena introducción a la geometrización, recomiendo consultar El libro de Martelli sobre topología geométrica disponible de forma gratuita en el arXiv. Lo esencial, según tengo entendido, es lo siguiente.
Cualquier superficie compacta, conectada y orientable (2manifold) es homeomorfa a un $g$ -toroide agujereado $\Sigma_g$ , donde $\Sigma_0$ es homeomorfo a $S^2$ y $\Sigma_1$ es homeomorfo a un toroide estándar. Esta es una imagen de $\Sigma_0$ , $\Sigma_1$ y $\Sigma_2$ :
Todos esos espacios son geometrizables en el siguiente sentido.
- La esfera $S^2$ es un espacio geométrico muy bonito si lo equipamos con la métrica radial (o, quizá más familiarmente, con la métrica métrica de Riemann), porque tiene una curvatura constante. Así que $S^2$ podría decirse que es "trivialmente geometrizable".
- El toroide $T^2$ es homeomorfo al espacio $\mathbb R^2/ \mathbb Z^2$ y otra vez, $\mathbb R^2$ es un espacio geométrico muy bonito (posiblemente el más bonito). Podemos poner una métrica en el toroide tal que el mapa cociente $\mathbb R^2 \rightarrow T^2$ se convierte en una isometría local, por lo que la geometría de $\mathbb R^2$ nos da una geometría en el toro. Por lo tanto, también el toro es geometrizable.
- Para $g \geq 2$ tenemos que $\Sigma_g$ se puede obtener pegando juntos $2g-2$ los llamados pares de pantalones hiperbólicos (imagen de abajo; a la izquierda hay un par de pantalones, y a la derecha una descomposición de $\Sigma_2$ en pares de pantalones). De la misma manera, $\Sigma_g$ puede obtenerse pegando los lados de determinadas hiperbólicas $2g$ -gones. Este nos da dos formas de ver que $\Sigma_g$ es localmente isométrico al plano hiperbólico $\mathbb H^2$ . El segundo nos da incluso un mapa de cociente $\mathbb H^2 \rightarrow \Sigma_g$ estableciendo la analogía con el toroide.
Estos ejemplos motivan la siguiente definición ad-hoc:
A $2$ -manifold es geometrizable si admite una métrica riemanniana que admite una cobertura universal localmente isométrica a $S^2$ , $\mathbb R^2$ o $\mathbb H^2$ .
Obsérvese que estos espacios son precisamente los riemannianos simplemente conectados $2$ -con curvatura constante.
Ahora, para $3$ -manifolds, la situación es un poco más complicada, por lo que sólo puedo dar las ideas básicas aquí. Existe una noción de colectores primarios y con ello viene una descomposición de $3$ -manifoldos en partes primarias . ¿Por qué es interesante? Bueno, Thurston conjeturó y Perelman demostró más tarde que cualquier primo $3$ -puede ser cortado (descomposición JSJ) de tal manera que cada trozo es geometrizable en el siguiente sentido:
A $3$ -manifold es geometrizable si admite una métrica riemanniana que admite una cobertura universal localmente isométrica a $S^3$ , $\mathbb R^3$ , $\mathbb H^3$ , $S^2 \times \mathbb R$ , $\mathbb H^2 \times \mathbb R$ la cubierta universal $\text{SL}(2, \mathbb R)$ , $\text{Nil}$ o $\text{Sol}$ .
De hecho, estos espacios satisfacen una caracterización similar, pero más complicada, a la del $2$ -caso de la dimensión.
